Номер 25, страница 134 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

25. Известны координаты двух вершин $A(2; 1)$ и $B(2; 5)$ квадрата $ABCD$. Сколько квадратов с вершинами в этих точках можно построить? Определите координаты остальных вершин построенных квадратов.

Для решения задачи сначала найдем вектор $\vec{AB}$ и его длину. Эти значения будут ключевыми для определения возможных конфигураций квадрата.

Координаты точек: $A(2; 1)$ и $B(2; 5)$.

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (2 - 2; 5 - 1) = (0; 4)$.

Длина отрезка $AB$, которая является расстоянием между точками A и B, вычисляется по формуле:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$.

Существует два основных случая расположения вершин A и B в квадрате:

1. Точки A и B являются смежными вершинами (AB — сторона квадрата).
2. Точки A и B являются противоположными вершинами (AB — диагональ квадрата).

Случай 1: AB — сторона квадрата

Если AB — сторона квадрата, то ее длина равна 4. Две другие стороны, AD и BC, должны быть перпендикулярны стороне AB и иметь такую же длину.

Вектор $\vec{AB} = (0; 4)$ является вертикальным. Перпендикулярные ему векторы такой же длины (4) будут горизонтальными: $\vec{v_1} = (4; 0)$ и $\vec{v_2} = (-4; 0)$. Это дает нам два возможных квадрата.

Квадрат 1: Построен вправо от стороны AB

В этом случае векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны вектору $\vec{v_1} = (4; 0)$.

• Координаты вершины D находим, прибавив к координатам точки A вектор $\vec{AD}$:
  $D = A + \vec{AD} = (2; 1) + (4; 0) = (6; 1)$.
• Координаты вершины C находим, прибавив к координатам точки B вектор $\vec{BC}$:
  $C = B + \vec{BC} = (2; 5) + (4; 0) = (6; 5)$.

Вершины первого квадрата: $A(2; 1)$, $B(2; 5)$, $C(6; 5)$, $D(6; 1)$.

Квадрат 2: Построен влево от стороны AB

В этом случае векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны вектору $\vec{v_2} = (-4; 0)$.

• Координаты вершины D:
  $D = A + \vec{AD} = (2; 1) + (-4; 0) = (-2; 1)$.
• Координаты вершины C:
  $C = B + \vec{BC} = (2; 5) + (-4; 0) = (-2; 5)$.

Вершины второго квадрата: $A(2; 1)$, $B(2; 5)$, $C(-2; 5)$, $D(-2; 1)$.

Случай 2: AB — диагональ квадрата

Если AB — диагональ квадрата, то ее длина равна 4. Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Найдем середину диагонали AB — точку M.

$M = \left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\frac{2+2}{2}; \frac{1+5}{2}\right) = (2; 3)$.

Вторая диагональ, CD, также проходит через точку M, перпендикулярна AB и имеет ту же длину 4. Следовательно, отрезки MC и MD имеют длину $4 / 2 = 2$.

Вектор $\vec{AB} = (0; 4)$. Вектор, перпендикулярный ему, будет иметь вид $(k; 0)$. Так как длина отрезка MC равна 2, то вектор $\vec{MC}$ может быть $(2; 0)$ или $(-2; 0)$.

• Найдем координаты вершины C, используя вектор $\vec{MC} = (2; 0)$:
  $C = M + \vec{MC} = (2; 3) + (2; 0) = (4; 3)$.
• Вершина D будет симметрична C относительно точки M, поэтому $\vec{MD} = -\vec{MC} = (-2; 0)$:
  $D = M + \vec{MD} = (2; 3) + (-2; 0) = (0; 3)$.

Вершины третьего квадрата (в порядке обхода $ADBC$): $A(2; 1)$, $D(0; 3)$, $B(2; 5)$, $C(4; 3)$.

Сколько квадратов с вершинами в этих точках можно построить? Ответ: Всего можно построить 3 квадрата.

Определите координаты остальных вершин построенных квадратов. Ответ:

• Для первого квадрата (AB — сторона): координаты остальных вершин C(6; 5) и D(6; 1).
• Для второго квадрата (AB — сторона): координаты остальных вершин C(-2; 5) и D(-2; 1).
• Для третьего квадрата (AB — диагональ): координаты остальных вершин C(4; 3) и D(0; 3).