Номер 21, страница 133 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

21. Координаты трёх вершин треугольника $A(3; -2)$, $B(-4; 1)$ и $C(5; 6):$

a) начертите этот треугольник;

б) определите координаты точки пересечения сторон этого треугольника с осью ординат;

в) определите координаты точки пересечения сторон этого треугольника с осью абсцисс.

Даны координаты вершин треугольника A(3; −2), B(−4; 1) и C(5; 6).

Для построения треугольника отметим на координатной плоскости точки A, B и C и соединим их отрезками.

Ответ: чертеж треугольника представлен выше.

Точка пересечения с осью ординат (осью OY) имеет координату $x = 0$. Найдем точки пересечения для каждой стороны треугольника. Общее уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $.

1. Сторона AB (A(3; −2), B(−4; 1))
   Уравнение прямой AB: $ \frac{x - 3}{-4 - 3} = \frac{y - (-2)}{1 - (-2)} \implies \frac{x - 3}{-7} = \frac{y + 2}{3} $.
   Подставим $x = 0$: $ \frac{-3}{-7} = \frac{y + 2}{3} \implies \frac{3}{7} = \frac{y + 2}{3} $.
   Отсюда $9 = 7(y + 2) \implies 9 = 7y + 14 \implies 7y = -5 \implies y = -\frac{5}{7} $.
   Поскольку абсциссы точек A (3) и B (−4) имеют разные знаки, отрезок AB пересекает ось OY. Координаты точки пересечения: $ (0; -\frac{5}{7}) $.
2. Сторона BC (B(−4; 1), C(5; 6))
   Уравнение прямой BC: $ \frac{x - (-4)}{5 - (-4)} = \frac{y - 1}{6 - 1} \implies \frac{x + 4}{9} = \frac{y - 1}{5} $.
   Подставим $x = 0$: $ \frac{4}{9} = \frac{y - 1}{5} $.
   Отсюда $20 = 9(y - 1) \implies 20 = 9y - 9 \implies 9y = 29 \implies y = \frac{29}{9} $.
   Поскольку абсциссы точек B (−4) и C (5) имеют разные знаки, отрезок BC пересекает ось OY. Координаты точки пересечения: $ (0; \frac{29}{9}) $.
3. Сторона AC (A(3; −2), C(5; 6))
   Абсциссы точек A (3) и C (5) обе положительны. Это означает, что отрезок AC не пересекает ось OY, на которой $x=0$.

Ответ: точки пересечения с осью ординат имеют координаты $ (0; -\frac{5}{7}) $ и $ (0; \mathbf{3}\frac{2}{9}) $.

Точка пересечения с осью абсцисс (осью OX) имеет координату $y = 0$. Найдем точки пересечения для каждой стороны треугольника.

1. Сторона AB (A(3; −2), B(−4; 1))
   Из уравнения прямой AB $ \frac{x - 3}{-7} = \frac{y + 2}{3} $ подставим $y = 0$:
   $ \frac{x - 3}{-7} = \frac{2}{3} \implies 3(x - 3) = -14 \implies 3x - 9 = -14 \implies 3x = -5 \implies x = -\frac{5}{3} $.
   Поскольку ординаты точек A (−2) и B (1) имеют разные знаки, отрезок AB пересекает ось OX. Координаты точки пересечения: $ (-\frac{5}{3}; 0) $.
2. Сторона BC (B(−4; 1), C(5; 6))
   Ординаты точек B (1) и C (6) обе положительны. Это означает, что отрезок BC полностью лежит выше оси OX и не пересекает ее.
3. Сторона AC (A(3; −2), C(5; 6))
   Уравнение прямой AC: $ \frac{x - 3}{5 - 3} = \frac{y - (-2)}{6 - (-2)} \implies \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{8} $.
   Подставим $y = 0$: $ \frac{x - 3}{2} = \frac{2}{8} \implies \frac{x - 3}{2} = \frac{1}{4} $.
   Отсюда $4(x - 3) = 2 \implies 4x - 12 = 2 \implies 4x = 14 \implies x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} $.
   Поскольку ординаты точек A (−2) и C (6) имеют разные знаки, отрезок AC пересекает ось OX. Координаты точки пересечения: $ (\frac{7}{2}; 0) $.

Ответ: точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты $ (-\mathbf{1}\frac{2}{3}; 0) $ и $ (\mathbf{3}\frac{1}{2}; 0) $.