Номер 5, страница 76 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

5. Каждый из учащихся класса посещает факультативы: 16 человек — по физике, 11 — по химии и 10 — по математике, 8 человек — по физике и химии, 6 — по математике и физике, 4 — по математике и химии. Один человек посещает все три факультатива. Сколько человек в классе:

а) 30;

б) 20;

в) 29;

г) 21?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений, который позволяет найти количество элементов в объединении нескольких множеств.

Обозначим множества учащихся по посещаемым факультативам:

• $Ф$ – множество учащихся, посещающих факультатив по физике.
• $Х$ – множество учащихся, посещающих факультатив по химии.
• $М$ – множество учащихся, посещающих факультатив по математике.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Количество учащихся, посещающих физику: $|Ф| = 16$.
• Количество учащихся, посещающих химию: $|Х| = 11$.
• Количество учащихся, посещающих математику: $|М| = 10$.
• Количество учащихся, посещающих физику и химию: $|Ф \cap Х| = 8$.
• Количество учащихся, посещающих математику и физику: $|М \cap Ф| = 6$.
• Количество учащихся, посещающих математику и химию: $|М \cap Х| = 4$.
• Количество учащихся, посещающих все три факультатива: $|Ф \cap Х \cap М| = 1$.

Поскольку каждый учащийся посещает хотя бы один факультатив, общее количество учеников в классе равно количеству элементов в объединении этих трех множеств, то есть $|Ф \cup Х \cup М|$.

Формула включений-исключений для трех множеств выглядит так:

$|Ф \cup Х \cup М| = |Ф| + |Х| + |М| - (|Ф \cap Х| + |М \cap Ф| + |М \cap Х|) + |Ф \cap Х \cap М|$

Подставим известные значения в формулу:

$|Ф \cup Х \cup М| = 16 + 11 + 10 - (8 + 6 + 4) + 1$

Выполним вычисления:

$|Ф \cup Х \cup М| = 37 - 18 + 1$

$|Ф \cup Х \cup М| = 19 + 1 = 20$

Таким образом, всего в классе 20 человек.

Правильность решения можно также проверить, рассчитав количество учеников в каждой уникальной группе (используя диаграммы Венна):

• Посещают только физику: $16 - ( (8-1) + (6-1) + 1 ) = 16 - (7+5+1) = 3$
• Посещают только химию: $11 - ( (8-1) + (4-1) + 1 ) = 11 - (7+3+1) = 0$
• Посещают только математику: $10 - ( (6-1) + (4-1) + 1 ) = 10 - (5+3+1) = 1$
• Посещают только физику и химию: $8 - 1 = 7$
• Посещают только математику и физику: $6 - 1 = 5$
• Посещают только математику и химию: $4 - 1 = 3$
• Посещают все три: $1$

Сложив все группы, получим общее число учащихся: $3 + 0 + 1 + 7 + 5 + 3 + 1 = 20$ человек.

Результаты совпадают. Правильный ответ — 20, что соответствует варианту б).

а) 30;

б) 20; Ответ: 20

в) 29;

г) 21?