Номер 2, страница 75 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

2. В классе 24 ученика. Во время зимних каникул 10 человек побывали в лыжном походе, 16 проводили время на катке, а 12 — осваивали скейтборды. Сколько учащихся занимались всеми тремя видами спорта, если в походе и на катке побывали 5 человек, на коньках и скейтбордах катались 7 человек, а на лыжах и скейтбордах — 8?

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений для трех множеств. Этот принцип позволяет найти количество элементов в объединении нескольких множеств.

Обозначим множества учеников, занимающихся разными видами спорта:

• $Л$ — множество учеников, побывавших в лыжном походе.
• $К$ — множество учеников, проводивших время на катке.
• $С$ — множество учеников, осваивавших скейтборды.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Общее количество учеников в классе: $24$. Предположим, что все ученики класса занимались хотя бы одним из перечисленных видов спорта. Это означает, что количество элементов в объединении всех трех множеств равно $24$, то есть $|Л \cup К \cup С| = 24$.
• Количество учеников в каждом множестве (мощность множеств): $|Л| = 10$, $|К| = 16$, $|С| = 12$.
• Количество учеников, которые занимались парами видов спорта (мощность пересечений пар множеств): $|Л \cap К| = 5$, $|К \cap С| = 7$, $|Л \cap С| = 8$.

Цель задачи — найти количество учащихся, которые занимались всеми тремя видами спорта. Это соответствует мощности пересечения всех трех множеств: $|Л \cap К \cap С|$. Обозначим это неизвестное значение как $x$.

Формула включений-исключений для трех множеств имеет следующий вид:

$|Л \cup К \cup С| = |Л| + |К| + |С| - (|Л \cap К| + |К \cap С| + |Л \cap С|) + |Л \cap К \cap С|$

Теперь подставим известные значения в эту формулу:

$24 = 10 + 16 + 12 - (5 + 7 + 8) + x$

Проведем вычисления поэтапно:

1. Сумма учеников по каждому виду спорта: $10 + 16 + 12 = 38$.

2. Сумма учеников, занимавшихся парами видов спорта: $5 + 7 + 8 = 20$.

3. Подставим эти значения обратно в уравнение:

$24 = 38 - 20 + x$

$24 = 18 + x$

4. Найдем $x$:

$x = 24 - 18$

$x = 6$

Таким образом, количество учащихся, занимавшихся всеми тремя видами спорта, равно 6.

2. Ответ: 6