Номер 3, страница 121 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

3. Фирма подсчитывала результаты работы в течение нескольких дней, и выяснилось, что каждые три дня наблюдается прибыль. Может ли получиться так, что за 25 дней фирма окажется в убытке?

Да, такая ситуация возможна. Чтобы это доказать, достаточно привести один конкретный пример, который удовлетворяет условиям задачи.

Обозначим финансовый результат (прибыль или убыток) за $i$-й день как $P_i$.

Условие задачи гласит, что сумма результатов за любые три последовательных дня положительна. Математически это можно записать так:

$P_k + P_{k+1} + P_{k+2} > 0$ для любого $k$ от 1 до 23.

Мы хотим проверить, может ли общая сумма за 25 дней быть отрицательной, то есть может ли выполняться неравенство:

$\sum_{i=1}^{25} P_i < 0$

Рассмотрим следующую модель распределения прибыли и убытков. Заметим, что в любой тройке последовательных натуральных чисел (например, $k, k+1, k+2$) ровно одно число делится на 3.

Пусть финансовый результат дня зависит от того, кратен ли его номер трём:

• Если номер дня $i$ кратен 3, то прибыль составляет $P_i = 19$ у.е.
• Если номер дня $i$ не кратен 3, то убыток составляет $P_i = -9$ у.е.

Теперь проверим, выполняются ли условия задачи для этой модели.

1. Проверка условия о прибыли за каждые три дня.

Как было отмечено, любая тройка последовательных дней включает ровно один день, номер которого кратен 3. Следовательно, в любой 3-дневный период фирма получит одну прибыль в 19 у.е. и два убытка по 9 у.е. каждый. Сумма за любые три дня будет равна:

$19 + (-9) + (-9) = 19 - 18 = 1$

Поскольку $1 > 0$, условие о том, что за каждые три дня наблюдается прибыль, выполняется.

2. Расчет общего результата за 25 дней.

Сначала подсчитаем, сколько дней с прибылью и сколько с убытком было в рассматриваемом периоде.

• Количество прибыльных дней (номера дней кратны 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24). Всего $\lfloor \frac{25}{3} \rfloor = 8$ дней.
• Количество убыточных дней (остальные дни): $25 - 8 = 17$ дней.

Теперь рассчитаем общую сумму за 25 дней:

Общая сумма = (Кол-во прибыльных дней $\times$ Прибыль) + (Кол-во убыточных дней $\times$ Убыток)

Общая сумма = $(8 \times 19) + (17 \times -9) = 152 - 153 = -1$

Общий финансовый результат за 25 дней составил -1, что означает, что фирма оказалась в убытке.

Таким образом, мы построили пример, который полностью удовлетворяет условиям задачи.

Может ли получиться так, что за 25 дней фирма окажется в убытке? Ответ: Да, может.