Номер 4, страница 122 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

4. Первым трём точкам, отмеченным на координатной прямой, соответствуют числа $3$, $7$ и $-12$. Какое число соответствует четвёртой точке, если при замене всех чисел на противоположные сумма четырёх чисел не изменилась?

Пусть искомое четвёртое число равно $x$. Тогда на координатной прямой отмечены четыре числа: $3, 7, -12, x$.

Найдём сумму этих чисел. Обозначим её $S_1$: $S_1 = 3 + 7 + (-12) + x = 10 - 12 + x = -2 + x$

Теперь заменим каждое число на противоположное. Противоположным для числа $a$ является число $-a$. Получим новый набор чисел: $-3, -7, 12, -x$.

Найдём сумму этих новых чисел. Обозначим её $S_2$: $S_2 = (-3) + (-7) + 12 + (-x) = -10 + 12 - x = 2 - x$

По условию задачи, сумма чисел не изменилась после замены их на противоположные. Это означает, что $S_1 = S_2$. Составим и решим уравнение: $-2 + x = 2 - x$

Чтобы решить уравнение, перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные: $x + x = 2 + 2$ $2x = 4$ $x = \frac{4}{2}$ $x = 2$

Альтернативный способ решения:

Сумма любого набора чисел ($S$) и сумма противоположных им чисел всегда противоположны друг другу, то есть равны $S$ и $-S$. Если по условию эти суммы равны ($S = -S$), то это возможно только в одном случае: когда сама сумма равна нулю. $S = -S \Rightarrow 2S = 0 \Rightarrow S = 0$.

Следовательно, первоначальная сумма четырёх чисел должна быть равна 0. $3 + 7 + (-12) + x = 0$ $-2 + x = 0$ $x = 2$

Таким образом, четвёртое число равно 2.

Ответ: 2.