Номер 8, страница 122 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

8. Маша записала на доске $1 * 2 * \dots * 9 * 10 = 29$, вместо звёздочек поставила знаки «+» или «–» и получила верное равенство. Катя переправила несколько знаков на противоположные и получила число 30. Ошиблась ли Катя?

Для решения этой задачи проанализируем четность выражения $1 * 2 * ... * 9 * 10$, где вместо звездочек стоят знаки «+» или «−».

Способ 1: Анализ четности суммы

Четность результата выражения, состоящего из сложения и вычитания целых чисел, совпадает с четностью суммы этих же чисел. Это происходит потому, что изменение знака с «+» на «−» перед числом $k$ изменяет итоговую сумму на $2k$, что является четным числом и не влияет на четность результата.

Таким образом, четность выражения $1 \pm 2 \pm 3 \pm ... \pm 10$ будет такой же, как у суммы $1 + 2 + 3 + ... + 10$.

Найдем сумму всех чисел от 1 до 10 по формуле суммы арифметической прогрессии:

$S = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(1 + 10) \cdot 10}{2} = \frac{11 \cdot 10}{2} = 55$

Число 55 является нечетным. Это означает, что при любой комбинации знаков «+» и «−» результат выражения всегда будет нечетным числом.

Маша получила результат 29 — это нечетное число, что является возможным. Катя получила 30 — это четное число, что невозможно.

Способ 2: Анализ изменения результата

У Маши получилось верное равенство с результатом 29. Катя изменила несколько знаков на противоположные.

Рассмотрим, как меняется сумма, если изменить знак перед одним из чисел $k$ (где $k$ - число от 2 до 10):

• Если знак «+» меняется на «−», то сумма уменьшается на $k$ и еще раз на $k$, то есть общее изменение составляет $-2k$.
• Если знак «−» меняется на «+», то сумма увеличивается на $k$ и еще раз на $k$, то есть общее изменение составляет $+2k$.

В обоих случаях сумма изменяется на четное число ($2k$). Если Катя изменила несколько знаков, то итоговое изменение суммы будет равно сумме нескольких четных чисел, что также является четным числом.

Таким образом, новый результат должен равняться старому результату (29) плюс или минус некоторое четное число.

Новая сумма = $29 \pm (\text{четное число})$

Сумма (или разность) нечетного числа (29) и любого четного числа всегда является нечетным числом.

Катя утверждает, что получила число 30, которое является четным. Это противоречит нашим выводам.