Номер 15, страница 123 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

15. Несколько ребят пошли в лес за ягодами. Они собирали чернику и землянику. Оказалось, что все собрали ягод поровну. Лёша нашёл $frac{1}{9}$ всех собранных ягод черники и $frac{1}{11}$ всех собранных ягод земляники. Докажите, что Лёша собрал столько же ягод черники, сколько и земляники. Можно ли узнать, сколько всего было ребят?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $Ч$ — общее количество собранной черники.
• $З$ — общее количество собранной земляники.
• $N$ — общее количество ребят.

По условию, Лёша собрал $\frac{1}{9}$ всей черники и $\frac{1}{11}$ всей земляники. Обозначим количество черники, собранное Лёшей, как $Л_ч$, а земляники — как $Л_з$.

$Л_ч = \frac{1}{9} Ч$

$Л_з = \frac{1}{11} З$

Общее количество ягод, которое собрал Лёша, равно $Л_ч + Л_з$.

Также в условии сказано, что все ребята собрали ягод поровну. Общее количество всех ягод равно $Ч + З$. Следовательно, каждый из $N$ ребят собрал $\frac{Ч + З}{N}$ ягод. Это же количество собрал и Лёша.

Приравняем два выражения для количества ягод, собранных Лёшей:

$Л_ч + Л_з = \frac{Ч + З}{N}$

Из первых двух уравнений выразим $Ч$ и $З$ через $Л_ч$ и $Л_з$:

$Ч = 9 \cdot Л_ч$

$З = 11 \cdot Л_з$

Теперь подставим эти выражения в уравнение равенства долей:

$Л_ч + Л_з = \frac{9 \cdot Л_ч + 11 \cdot Л_з}{N}$

Умножим обе части на $N$:

$N(Л_ч + Л_з) = 9 \cdot Л_ч + 11 \cdot Л_з$

$N \cdot Л_ч + N \cdot Л_з = 9 \cdot Л_ч + 11 \cdot Л_з$

Сгруппируем слагаемые с $Л_ч$ в одной части, а с $Л_з$ — в другой:

$N \cdot Л_ч - 9 \cdot Л_ч = 11 \cdot Л_з - N \cdot Л_з$

$Л_ч(N - 9) = Л_з(11 - N)$

Поскольку Лёша собрал какое-то количество ягод обоих видов, то $Л_ч > 0$ и $Л_з > 0$. Из этого следует, что выражения в скобках $(N - 9)$ и $(11 - N)$ должны быть одного знака (оба положительные или оба отрицательные), чтобы равенство выполнялось.

• Случай 1: Оба выражения положительны.
  $N - 9 > 0 \implies N > 9$
  $11 - N > 0 \implies N < 11$
  Таким образом, $9 < N < 11$.
• Случай 2: Оба выражения отрицательны.
  $N - 9 < 0 \implies N < 9$
  $11 - N < 0 \implies N > 11$
  Одновременно эти условия выполняться не могут.

Так как количество ребят $N$ должно быть целым числом, из неравенства $9 < N < 11$ следует, что $N$ может быть равно только 10.

Докажите, что Лёша собрал столько же ягод черники, сколько и земляники.
Мы получили уравнение $Л_ч(N - 9) = Л_з(11 - N)$ и установили, что $N=10$. Подставим значение $N$ в это уравнение:

$Л_ч(10 - 9) = Л_з(11 - 10)$

$Л_ч \cdot 1 = Л_з \cdot 1$

$Л_ч = Л_з$

Это доказывает, что количество черники, собранной Лёшей, равно количеству собранной им земляники.
Ответ: Доказано.

Можно ли узнать, сколько всего было ребят?
Да, можно. Как было показано в ходе решения, из логических рассуждений следует, что единственно возможное целое количество ребят $N$, удовлетворяющее условиям задачи, — это 10.
Ответ: 10