Номер 16, страница 123 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

16. В строку выписали 39 чисел, не равных нулю. Сумма любых двух соседних чисел положительна, а сумма всех чисел отрицательна. Каков знак произведения всех чисел?

Обозначим данную последовательность 39 ненулевых чисел как $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{39}$.

Из условия задачи нам известно:

1. Сумма любых двух соседних чисел положительна: $a_i + a_{i+1} > 0$ для всех $i$ от 1 до 38.
2. Сумма всех 39 чисел отрицательна: $S = a_1 + a_2 + \dots + a_{39} < 0$.

Наша цель — определить знак произведения $P = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{39}$. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей. Найдем, какие из чисел в последовательности являются отрицательными.

Шаг 1: Определение знака чисел с нечетными номерами.

Рассмотрим сумму всех чисел $S$. Поскольку общее количество чисел (39) нечетно, мы можем сгруппировать слагаемые, начиная со второго, в пары:

$S = a_1 + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5) + \dots + (a_{38} + a_{39})$

Каждая сумма в скобках, например $(a_2 + a_3)$, является суммой двух соседних чисел, а значит, по условию, она положительна. Таким образом, $S$ представляет собой сумму числа $a_1$ и 19 положительных слагаемых. Так как сумма всех этих 19 пар положительна, а общая сумма $S$ отрицательна, число $a_1$ должно быть отрицательным ($a_1 < 0$).

Аналогично, сгруппируем слагаемые с начала:

$S = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + \dots + (a_{37} + a_{38}) + a_{39}$

Сумма 19 пар в скобках положительна. Поскольку общая сумма $S$ отрицательна, последнее число $a_{39}$ также должно быть отрицательным ($a_{39} < 0$).

Этот же принцип можно применить к любому числу с нечетным номером $a_{2k-1}$ (где $k$ от 1 до 20). Рассмотрим сумму $S$ как:

$S = (a_1+a_2) + \dots + (a_{2k-3}+a_{2k-2}) + a_{2k-1} + (a_{2k}+a_{2k+1}) + \dots + (a_{38}+a_{39})$

Все слагаемые, кроме $a_{2k-1}$, сгруппированы в положительные пары. То есть, $S = (\text{положительное число}) + a_{2k-1}$. Так как $S < 0$, отсюда следует, что $a_{2k-1}$ должно быть отрицательным. Таким образом, все числа с нечетными номерами ($a_1, a_3, \dots, a_{39}$) отрицательны.

Шаг 2: Определение знака чисел с четными номерами.

Рассмотрим любое число с четным номером, $a_{2k}$ (где $k$ от 1 до 19). Оно соседствует с числом $a_{2k-1}$. По условию, их сумма положительна:

$a_{2k-1} + a_{2k} > 0$

На предыдущем шаге мы установили, что $a_{2k-1}$ — отрицательное число. Чтобы сумма отрицательного и некоторого другого числа была положительной, это другое число ($a_{2k}$) должно быть положительным.

Следовательно, все числа с четными номерами ($a_2, a_4, \dots, a_{38}$) положительны.

Шаг 3: Подсчет количества отрицательных чисел и определение знака произведения.

Мы выяснили, что отрицательными являются только числа с нечетными номерами. Посчитаем их количество в последовательности от 1 до 39. Это числа $1, 3, 5, \dots, 39$.

Количество таких чисел можно найти по формуле для членов арифметической прогрессии: $\frac{\text{последний} - \text{первый}}{\text{шаг}} + 1$.

Количество отрицательных чисел = $\frac{39 - 1}{2} + 1 = 19 + 1 = 20$.

Итак, в произведении $P = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{39}$ содержится ровно 20 отрицательных множителей и 19 положительных.

Знак произведения определяется четностью количества отрицательных сомножителей. Поскольку число 20 является четным, произведение 20 отрицательных чисел будет положительным. Произведение 19 положительных чисел также положительно. В итоге, произведение всех 39 чисел будет положительным.

Знак произведения всех чисел: Ответ: положительный.