Номер 19, страница 124 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

19. На калькуляторах в Стране чудес при нажатии на кнопку с цифрой на экране вместо одной цифры появляются сразу 2 одинаковые. Зато кнопки операций ($+$, $-$, $\times$, $/$ ) работают нормально, причём при каждой операции хотя бы одно из чисел, в ней участвующих, должно быть набрано «вручную» (т. е. не являться результатом предыдущей операции). Можно ли на экране калькулятора получить любое натуральное число?

Да, на экране такого калькулятора можно получить любое натуральное число. Ниже представлено подробное доказательство этого факта.

Для начала проанализируем условия задачи.

• «Вручную» вводимые числа: При нажатии на кнопку с цифрой $k$ (от 1 до 9) на экране появляется двузначное число $kk$. Таким образом, мы можем напрямую вводить числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Каждое из этих чисел кратно 11, то есть имеет вид $k \cdot 11$.
• Правила операций: Арифметические операции $(+, -, \times, /)$ работают стандартно. Ключевое ограничение состоит в том, что в каждой операции хотя бы один из операндов должен быть «вручную» набранным числом. Это означает, что разрешены операции вида (вручную_набранное) op (вручную_набранное) и (результат) op (вручную_набранное), но запрещены операции вида (результат) op (результат).

Доказательство проведем в два этапа: сначала покажем, как получить базовый набор чисел, а затем, используя метод математической индукции, докажем возможность получения любого натурального числа.

Покажем, как можно получить натуральные числа от 1 до 11, которые будут служить основой для дальнейших построений.

• Числа от 1 до 9: Любое однозначное натуральное число $d$ (где $d \in \{1, 2, ..., 9\}$) можно получить операцией деления двух «вручную» набранных чисел:
  $d = \frac{d \cdot 11}{11}$
  Например, число 1 получается как $11 / 11$. Число 2 — как $22 / 11$. Число 9 — как $99 / 11$. Все эти операции вида (вручную_набранное) / (вручную_набранное) являются допустимыми.
• Число 11: Это число можно набрать «вручную», нажав кнопку с цифрой 1.
• Число 10: Число 10 можно получить, используя вычитание. Сначала получаем 1 (как $11/11$), а затем вычитаем этот результат из 11.
  $10 = 11 - 1 = 11 - (11/11)$
  Эта последовательность операций допустима: сначала получаем результат $R_1 = 11/11$, а затем выполняем операцию $11 - R_1$, которая разрешена правилами.

Таким образом, мы показали, что все натуральные числа от 1 до 11 можно получить на данном калькуляторе.

Докажем по математической индукции, что любое натуральное число $n$ можно получить на калькуляторе.

База индукции: В пункте (а) мы уже показали, как получить все числа от 1 до 11. База доказана.

Шаг индукции: Предположим, что все натуральные числа от 1 до $K$ (где $K \ge 11$) можно получить (это индукционное предположение).

Докажем, что можно получить число $K+1$. Рассмотрим число $R = (K+1) - 11 = K - 10$. Поскольку по предположению $K \ge 11$, то $R = K - 10 \ge 1$. Значит, $R$ является натуральным числом. Также очевидно, что $R = K - 10 < K$. Следовательно, $1 \le R \le K$. По нашему индукционному предположению, число $R$ можно получить на калькуляторе. Пусть $R_{obt}$ — это результат $R$, полученный на калькуляторе.

Теперь мы можем выполнить операцию $11 + R_{obt}$. Эта операция вида (вручную_набранное) + (результат), где вручную набранное число — это 11, а $R_{obt}$ — результат предыдущих вычислений. Такая операция разрешена. Результат этой операции будет равен:
$11 + R = 11 + (K-10) = K+1$.
Таким образом, число $K+1$ также можно получить.

По принципу математической индукции, мы доказали, что любое натуральное число $n$ может быть получено на этом калькуляторе.

Пример получения числа 37:Этот конструктивный метод можно продемонстрировать на примере. Чтобы получить 37:

1. Сначала получим 4: $44 / 11 = 4$.
2. Затем получим 15: $11 + 4 = 15$. (Операция вручную_набранное + результат)
3. Затем получим 26: $11 + 15 = 26$. (Аналогично)
4. Наконец, получим 37: $11 + 26 = 37$. (Аналогично)

Каждая операция в этой последовательности разрешена.