Номер 13, страница 123 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

13. На доске написаны 5 целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из 10 чисел: -1, 4, 6, 9, 10, 11, 15, 16, 20, 22. Выясните, какие числа написаны на доске, и найдите их произведение.

Пусть на доске написаны пять целых чисел $a, b, c, d, e$. Для удобства решения упорядочим их по возрастанию: $a < b < c < d < e$.

При попарном сложении пяти различных чисел получается $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ различных сумм. Это соответствует количеству чисел в заданном наборе: -1, 4, 6, 9, 10, 11, 15, 16, 20, 22.

Найдем сумму $S$ всех этих попарных сумм:

$S = -1 + 4 + 6 + 9 + 10 + 11 + 15 + 16 + 20 + 22 = 112$.

Каждое из исходных чисел ($a, b, c, d, e$) при составлении всех попарных сумм складывается с остальными четырьмя числами. Таким образом, каждое число входит в общую сумму 4 раза. Следовательно, сумма всех попарных сумм равна учетверенной сумме исходных чисел:

$S = 4(a+b+c+d+e)$

Отсюда мы можем найти сумму исходных пяти чисел, обозначим ее как $T$:

$T = a+b+c+d+e = \frac{S}{4} = \frac{112}{4} = 28$.

Поскольку мы упорядочили исходные числа ($a < b < c < d < e$), мы можем однозначно определить некоторые из попарных сумм, сравнивая их по величине:

• Наименьшая сумма — это сумма двух наименьших чисел: $a+b = -1$.
• Вторая по величине сумма — это сумма наименьшего и третьего по величине числа: $a+c = 4$.
• Наибольшая сумма — это сумма двух наибольших чисел: $d+e = 22$.
• Предпоследняя по величине сумма — это сумма третьего по величине и наибольшего числа: $c+e = 20$.

Теперь воспользуемся найденной общей суммой $T=28$. Мы можем представить ее в виде:

$T = (a+b) + c + (d+e) = 28$

Подставим известные значения $a+b=-1$ и $d+e=22$:

$-1 + c + 22 = 28$

$c + 21 = 28$

$c = 7$

Зная значение $c=7$, мы можем последовательно найти остальные числа из ранее определенных уравнений:

• Из $a+c = 4$ следует $a+7 = 4$, откуда $a = -3$.
• Из $c+e = 20$ следует $7+e = 20$, откуда $e = 13$.
• Из $a+b = -1$ следует $-3+b = -1$, откуда $b = 2$.
• Из $d+e = 22$ следует $d+13 = 22$, откуда $d = 9$.

Таким образом, искомые числа: -3, 2, 7, 9, 13.

Для полной уверенности проведем проверку, вычислив все 10 попарных сумм для найденных чисел:

• $a+b = -3+2 = -1$
• $a+c = -3+7 = 4$
• $a+d = -3+9 = 6$
• $a+e = -3+13 = 10$
• $b+c = 2+7 = 9$
• $b+d = 2+9 = 11$
• $b+e = 2+13 = 15$
• $c+d = 7+9 = 16$
• $c+e = 7+13 = 20$
• $d+e = 9+13 = 22$

Полученный набор сумм $\{-1, 4, 6, 9, 10, 11, 15, 16, 20, 22\}$ полностью совпадает с набором, данным в условии задачи. Следовательно, числа найдены верно.

Выясните, какие числа написаны на доске: Ответ: -3, 2, 7, 9, 13.

найдите их произведение: Ответ: $(-3) \cdot 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 13 = -4914$.