Номер 17, страница 123 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

17. Из шахматной доски $8 \times 8$ вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите, что полученную фигуру нельзя полностью покрыть «домино» из двух клеток.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом раскраски. Стандартная шахматная доска имеет чередующуюся раскраску клеток в два цвета (условно, белый и черный).

1. Анализ доски до и после вырезания клеток.

• На полной шахматной доске размером $8 \times 8$ всего $64$ клетки. Из-за чередующегося порядка раскраски, количество белых и черных клеток на ней одинаково: $32$ белых и $32$ черных.
• Противоположные угловые клетки на шахматной доске всегда имеют один и тот же цвет. Например, если клетка a1 (левая нижняя) — черная, то и клетка h8 (правая верхняя) тоже будет черной. Аналогично, белые углы a8 и h1 также являются противоположными.
• Следовательно, вырезая две противоположные угловые клетки, мы всегда удаляем две клетки одного цвета. Допустим, мы удалили две белые клетки.
• На оставшейся фигуре окажется $32 - 2 = 30$ белых клеток и $32$ черные клетки. Общее число клеток станет $64 - 2 = 62$.

2. Свойства "домино" на шахматной доске.

• Каждая кость "домино" имеет размер, позволяющий покрыть ровно две клетки.
• При любом размещении на шахматной доске "домино" накроет две соседние по стороне клетки.
• Соседние по стороне клетки на шахматной доске всегда имеют разный цвет.
• Таким образом, каждая кость "домино" неизбежно покрывает одну белую и одну черную клетку.

3. Доказательство от противного.

Предположим, что нам удалось полностью покрыть фигуру из 62 клеток костями "домино". Для этого понадобится $62 / 2 = 31$ кость. Исходя из свойства "домино", 31 кость должна покрыть ровно 31 белую клетку и 31 черную клетку. Однако на нашей фигуре, как мы выяснили, 30 клеток одного цвета и 32 клетки другого. Равного количества белых и черных клеток нет. Это противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение неверно.

Доказательство: Ответ: Покрыть полученную фигуру костями «домино» невозможно. Это связано с тем, что каждая кость домино всегда накрывает одну белую и одну черную клетку. После удаления двух противоположных углов, которые всегда одного цвета, на доске остается неравное количество белых и черных клеток (например, 32 черных и 30 белых), поэтому замостить ее фигурами, каждая из которых требует по одной клетке каждого цвета, нельзя.