Номер 6, страница 97, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4 км/ч, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то придёт на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?

6.

Пусть х (км) – расстояние до станции, тогда $\frac{х}{4}$ч – время движения со скоростью 4 км/ч, $\frac{х}{5}$ ч – время движения со скоростью 5 км/ч, получим уравнение:

$30 \mathrm{мин} = \frac{1}{2} \mathrm{ч}, 6 \mathrm{мин} = \frac{6}{60}=\frac{1}{10} \mathrm{ч}$

$$\begin{gathered} \frac{х}{4} - \frac{1}{2} = \frac{х}{5} + \frac{1}{10} \overline{) · 20} \\ \frac{х}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} · \stackrel{5}{\cancel{20}} - \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}} · \stackrel{10}{\bcancel{20}} = \frac{х}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{5}}}} · \stackrel{4}{\sout{20} }+ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{10}}}} · \stackrel{2}{\bcancel{20}}; \\ \frac{х}{1} · 5 - \frac{1}{1} · 10 = \frac{х}{1} · 4 + \frac{1}{1} · 2; \\ 5х – 10 = 4х + 2; \\ 5х – 4х = 2 + 10; \end{gathered}$$

х = 12 (км) – расстояние туриста

Ответ: 12 км.

Решение:

Для решения этой задачи составим уравнение, основываясь на основной формуле движения: расстояние = скорость × время ($S = v \cdot t$). Из этой формулы время можно выразить как $t = S/v$.

Пусть $S$ (в км) – искомое расстояние до станции, а $t$ (в часах) – время, которое есть у туриста до отправления поезда.

В первом случае турист идет со скоростью $v_1 = 4$ км/ч. Время, которое он затратит на путь, равно $t_1 = S/4$. По условию, он опоздает на полчаса (30 минут), что составляет 0,5 часа. Это означает, что его время в пути на 0,5 часа больше, чем время до отправления поезда:

$t_1 = t + 0.5$

$\frac{S}{4} = t + 0.5$

В втором случае турист идет со скоростью $v_2 = 5$ км/ч. Время, которое он затратит на путь, равно $t_2 = S/5$. По условию, он придёт за 6 минут до отправления поезда. Переведем 6 минут в часы: $6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0.1 \text{ ч}$. Это означает, что его время в пути на 0,1 часа меньше, чем время до отправления поезда:

$t_2 = t - 0.1$

$\frac{S}{5} = t - 0.1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($S$ и $t$):

$\begin{cases} \frac{S}{4} = t + 0.5 \\ \frac{S}{5} = t - 0.1 \end{cases}$

Выразим $t$ из каждого уравнения:

$t = \frac{S}{4} - 0.5$

$t = \frac{S}{5} + 0.1$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{S}{4} - 0.5 = \frac{S}{5} + 0.1$

Теперь решим это уравнение относительно $S$. Перенесем слагаемые с $S$ в одну сторону, а числовые значения – в другую:

$\frac{S}{4} - \frac{S}{5} = 0.1 + 0.5$

$\frac{S}{4} - \frac{S}{5} = 0.6$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю (20):

$\frac{5S}{20} - \frac{4S}{20} = 0.6$

$\frac{5S - 4S}{20} = 0.6$

$\frac{S}{20} = 0.6$

Умножим обе части уравнения на 20, чтобы найти $S$:

$S = 0.6 \cdot 20$

$S = 12$

Таким образом, расстояние, которое должен пройти турист, составляет 12 км.

Ответ: 12 км.