Номер 32.29, страница 155 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.29. Верно ли, что дробь $\frac{(a+7b)^2}{2a^2 - 98b^2}$ можно сократить на $7b+a$?

Какая дробь получится?

Чтобы ответить на вопрос, можно ли сократить дробь $\frac{(a+7b)^2}{2a^2-98b^2}$ на $7b+a$, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители.

Числитель дроби $(a+7b)^2$ представляет собой произведение двух одинаковых множителей $(a+7b)(a+7b)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $2a^2-98b^2$. Для начала вынесем за скобки общий множитель 2:

$2a^2-98b^2 = 2(a^2-49b^2)$

Выражение в скобках $a^2-49b^2$ является разностью квадратов, так как $49b^2 = (7b)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2-49b^2 = (a-7b)(a+7b)$

Таким образом, знаменатель в разложенном на множители виде выглядит так:

$2a^2-98b^2 = 2(a-7b)(a+7b)$

Теперь запишем исходную дробь, подставив разложенные на множители числитель и знаменатель:

$\frac{(a+7b)^2}{2a^2-98b^2} = \frac{(a+7b)(a+7b)}{2(a-7b)(a+7b)}$

Из полученного выражения видно, что и в числителе, и в знаменателе присутствует общий множитель $(a+7b)$. Поскольку, в силу переместительного закона сложения, $7b+a = a+7b$, то на этот множитель можно сократить дробь. Следовательно, утверждение, что дробь можно сократить на $7b+a$, является верным.

Выполним сокращение дроби, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель $(a+7b)$:

$\frac{(a+7b)(a+7b)}{2(a-7b)(a+7b)} = \frac{a+7b}{2(a-7b)}$

Эта дробь является результатом сокращения.

Ответ: Да, верно, дробь можно сократить на $7b+a$. После сокращения получится дробь $\frac{a+7b}{2(a-7b)}$.