Номер 32.23, страница 154 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.23. Верно ли, что значения дробей $\frac{x+1}{x^2-1}$, $\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$, $\frac{1}{x-1}$ равны при всех $x \neq 1$ и $x \neq -1$?

Для того чтобы определить, верно ли данное утверждение, необходимо упростить каждую из дробей и сравнить их на общей области допустимых значений, которая задана условиями $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Рассмотрим каждую дробь по отдельности.

$\frac{x+1}{x^2-1}$

Знаменатель дроби $x^2-1$ представляет собой разность квадратов. Используя формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, разложим его на множители:

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

Теперь дробь можно записать в виде:

$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

Согласно условию, $x \neq -1$, а значит $x+1 \neq 0$. Это позволяет нам сократить дробь на общий множитель $(x+1)$:

$\frac{\cancel{x+1}}{(x-1)(\cancel{x+1})} = \frac{1}{x-1}$

$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

В этой дроби знаменатель уже представлен в виде произведения множителей. Как и в предыдущем случае, на основании условия $x \neq -1$ (и, следовательно, $x+1 \neq 0$), мы можем выполнить сокращение на $(x+1)$:

$\frac{\cancel{x+1}}{(x-1)(\cancel{x+1})} = \frac{1}{x-1}$

$\frac{1}{x-1}$

Эта дробь уже является несократимой. Она определена при $x \neq 1$, что соответствует условиям задачи.

Сравнив результаты упрощения, мы видим, что все три исходные дроби при заданных ограничениях $x \neq 1$ и $x \neq -1$ тождественно равны одному и тому же выражению $\frac{1}{x-1}$.

Ответ: Да, верно, значения всех трех дробей равны при всех $x \neq 1$ и $x \neq -1$.