Номер 32.30, страница 155 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.30. Приведите дробь к целому рациональному выражению:

а) $\frac{(x-2)^2}{2-x}$;

б) $\frac{(a+1)^2}{-1-a}$;

в) $\frac{(x-2)^3}{2-x}$;

г) $\frac{(a+1)^3}{-1-a}$.

а)

Чтобы привести дробь к целому рациональному выражению, преобразуем знаменатель. Заметим, что знаменатель $2 - x$ является противоположным выражению $(x - 2)$ в числителе. Вынесем $-1$ за скобки в знаменателе: $2 - x = -(x - 2)$.

Подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:

$\frac{(x - 2)^2}{2 - x} = \frac{(x - 2)^2}{-(x - 2)}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(x - 2)$. Это возможно при условии, что $x \ne 2$.

$\frac{(x - 2) \cdot (x - 2)}{-(x - 2)} = \frac{x - 2}{-1} = -(x - 2)$

Раскроем скобки и получим окончательный вид выражения:

$-(x - 2) = -x + 2 = 2 - x$.

Ответ: $2 - x$.

б)

Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки $-1$: $-1 - a = -(1 + a)$.

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{(a + 1)^2}{-1 - a} = \frac{(a + 1)^2}{-(1 + a)}$

Поскольку $a + 1 = 1 + a$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a + 1)$, при условии, что $a \ne -1$.

$\frac{(a + 1) \cdot (a + 1)}{-(a + 1)} = \frac{a + 1}{-1} = -(a + 1)$

Раскрыв скобки, получаем:

$-(a + 1) = -a - 1$.

Ответ: $-a - 1$.

в)

Аналогично пункту а), преобразуем знаменатель: $2 - x = -(x - 2)$.

$\frac{(x - 2)^3}{2 - x} = \frac{(x - 2)^3}{-(x - 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x - 2)$, при условии, что $x \ne 2$:

$\frac{(x - 2)^2 \cdot (x - 2)}{-(x - 2)} = \frac{(x - 2)^2}{-1} = -(x - 2)^2$.

Ответ: $-(x - 2)^2$.

г)

Аналогично пункту б), преобразуем знаменатель: $-1 - a = -(1 + a)$.

$\frac{(a + 1)^3}{-1 - a} = \frac{(a + 1)^3}{-(1 + a)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a + 1)$, при условии, что $a \ne -1$:

$\frac{(a + 1)^2 \cdot (a + 1)}{-(a + 1)} = \frac{(a + 1)^2}{-1} = -(a + 1)^2$.

Ответ: $-(a + 1)^2$.