Номер 32.37, страница 156 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.37. При каком значении x значение выражения:

а) $\frac{36x^5 y^3}{48x^4 y^2}$ равно $3y$;

б) $\frac{65x^8 y^3 z^2}{130x^5 y^2 z^2}$ равно $4y$?

а)

Чтобы найти значение $x$, при котором данное выражение равно $3y$, нужно составить и решить уравнение.

1. Запишем уравнение в соответствии с условием задачи:

$\frac{36x^5y^3}{48x^4y^2} = 3y$

2. Упростим левую часть уравнения. Для этого сократим дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты: $\frac{36}{48} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12} = \frac{3}{4}$. Затем сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^5}{x^4} = x^{5-4} = x$

$\frac{y^3}{y^2} = y^{3-2} = y$

После упрощения левая часть уравнения выглядит так: $\frac{3}{4}xy$.

3. Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{3}{4}xy = 3y$

4. Чтобы найти $x$, решим это уравнение. Так как в знаменателе исходного выражения стоит $y^2$, то $y \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $y$:

$\frac{3}{4}x = 3$

5. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$3x = 12$

6. Разделим обе части на 3:

$x = 4$

Ответ: $x=4$.

б)

Чтобы найти значение $x$, при котором данное выражение равно $4y$, составим и решим уравнение.

1. Запишем уравнение:

$\frac{65x^8y^3z^2}{130x^5y^2z^2} = 4y$

2. Упростим левую часть уравнения, сократив дробь. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{65}{130} = \frac{1}{2}$. Сократим переменные:

$\frac{x^8}{x^5} = x^{8-5} = x^3$

$\frac{y^3}{y^2} = y^{3-2} = y$

$\frac{z^2}{z^2} = z^{2-2} = z^0 = 1$ (так как из условия $z^2$ в знаменателе следует, что $z \neq 0$)

После упрощения левая часть уравнения выглядит так: $\frac{1}{2}x^3y$.

3. Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{1}{2}x^3y = 4y$

4. Решим это уравнение относительно $x$. Предполагая, что $y \neq 0$, разделим обе части на $y$:

$\frac{1}{2}x^3 = 4$

5. Умножим обе части на 2:

$x^3 = 8$

6. Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.