Номер 32.42, страница 156 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.42* Найдите область определения выражения $\frac{2 - \frac{1}{m}}{6 + \frac{1}{m^2}}$

32.42*

Область определения выражения — это множество всех значений переменной, при которых это выражение имеет смысл. В данном выражении $\frac{2 - \frac{1}{m}}{6 + \frac{1}{m^2}}$ есть деление на переменные, поэтому знаменатели не должны равняться нулю.

1. В числителе и знаменателе основной дроби есть выражения с $m$ в знаменателе: $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{m^2}$. Это накладывает ограничение: $m \neq 0$.

2. Знаменатель основной дроби $6 + \frac{1}{m^2}$ также не должен быть равен нулю. Проверим, возможно ли это: $6 + \frac{1}{m^2} = 0$.
Поскольку $m \neq 0$, то $m^2$ всегда строго положительное число ($m^2 > 0$).
Значит, $\frac{1}{m^2}$ также всегда строго положительное число ($\frac{1}{m^2} > 0$).
Сумма положительного числа 6 и положительного числа $\frac{1}{m^2}$ всегда будет положительной ($6 + \frac{1}{m^2} > 6$).
Следовательно, знаменатель $6 + \frac{1}{m^2}$ никогда не обращается в ноль.

Таким образом, единственное условие, которое необходимо выполнить, — это $m \neq 0$.

Ответ: Область определения выражения — все действительные числа, кроме $m=0$. В виде интервала: $m \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

32.43*

Для построения графика функции $y = (x-1)^2$ проанализируем её и определим ключевые характеристики.

1. Тип функции. Это квадратичная функция, её график — парабола. Он может быть получен из графика базовой параболы $y=x^2$ с помощью геометрических преобразований.

2. Преобразование графика. Функция $y = (x-1)^2$ имеет вид $y=f(x-c)$, где $f(x)=x^2$ и $c=1$. Такое преобразование соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ на $c$ единиц вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

3. Характеристики параболы $y=(x-1)^2$:
- Вершина. Вершина базовой параболы $y=x^2$ находится в точке $(0,0)$. После сдвига на 1 единицу вправо, вершина параболы $y=(x-1)^2$ будет в точке $(1,0)$.
- Ось симметрии. Ось симметрии также сдвигается с $x=0$ на прямую $x=1$.
- Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), поэтому ветви параболы направлены вверх.

4. Ключевые точки для построения.
- Вершина: $(1,0)$.
- Точка пересечения с осью ординат (Oy), где $x=0$: $y=(0-1)^2 = 1$. Получаем точку $(0,1)$.
- Точка, симметричная точке $(0,1)$ относительно оси $x=1$, будет иметь абсциссу $x=2$: $y=(2-1)^2=1$. Получаем точку $(2,1)$.
- Другие точки: если $x=3$, то $y=(3-1)^2=4$, точка $(3,4)$. Если $x=-1$, то $y=(-1-1)^2=4$, точка $(-1,4)$.

Алгоритм построения:
На координатной плоскости отметить вершину $(1,0)$. Провести ось симметрии $x=1$. Отметить точки $(0,1)$, $(2,1)$, $(-1,4)$, $(3,4)$. Соединить точки плавной кривой, чтобы получить параболу, симметричную относительно прямой $x=1$ с ветвями вверх.

Ответ: График функции $y = (x-1)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо. Вершина параболы расположена в точке $(1,0)$, а ветви направлены вверх.