Номер 32.44, страница 156 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.44*. Сократите дробь, где m, n, k — натуральные числа больше 2:

а) $\frac{48a^{m-2}b^{n-3}}{144a^{m-1}b^n}$;

б) $\frac{0,12x^{2m}y^{3n+1}z^{2k-1}}{0,36x^{m-1}y^{3n-2}z^{2k+1}}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{48a^{m-2}b^{n-3}}{144a^{m-1}b^{n}}$, выполним сокращение по частям для коэффициентов и для каждой переменной отдельно, используя свойство частного степеней $\frac{x^p}{x^q} = x^{p-q}$.
1. Сократим числовые коэффициенты:
$\frac{48}{144} = \frac{48}{3 \cdot 48} = \frac{1}{3}$.
2. Сократим степени с основанием $a$:
$\frac{a^{m-2}}{a^{m-1}} = a^{(m-2) - (m-1)} = a^{m-2-m+1} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
3. Сократим степени с основанием $b$:
$\frac{b^{n-3}}{b^{n}} = b^{(n-3) - n} = b^{n-3-n} = b^{-3} = \frac{1}{b^3}$.
4. Теперь объединим все полученные части:
$\frac{48a^{m-2}b^{n-3}}{144a^{m-1}b^{n}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b^3} = \frac{1}{3ab^3}$.
Условие, что $m, n$ — натуральные числа больше 2, гарантирует, что показатели степеней в исходной дроби определены корректно (знаменатели не обращаются в ноль, если $a \ne 0, b \ne 0$).
Ответ: $\frac{1}{3ab^3}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{0.12x^{2m}y^{3n+1}z^{2k-1}}{0.36x^{m-1}y^{3n-2}z^{2k+1}}$, также произведем сокращение поэтапно.
1. Сократим числовые коэффициенты:
$\frac{0.12}{0.36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
2. Сократим степени с основанием $x$:
$\frac{x^{2m}}{x^{m-1}} = x^{2m - (m-1)} = x^{2m-m+1} = x^{m+1}$.
3. Сократим степени с основанием $y$:
$\frac{y^{3n+1}}{y^{3n-2}} = y^{(3n+1) - (3n-2)} = y^{3n+1-3n+2} = y^3$.
4. Сократим степени с основанием $z$:
$\frac{z^{2k-1}}{z^{2k+1}} = z^{(2k-1) - (2k+1)} = z^{2k-1-2k-1} = z^{-2} = \frac{1}{z^2}$.
5. Объединим все полученные результаты:
$\frac{1}{3} \cdot x^{m+1} \cdot y^3 \cdot \frac{1}{z^2} = \frac{x^{m+1}y^3}{3z^2}$.
Условие, что $m, n, k$ — натуральные числа больше 2, гарантирует, что все показатели степеней в исходной дроби являются положительными целыми числами.
Ответ: $\frac{x^{m+1}y^3}{3z^2}$.