Номер 32.51, страница 157 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.51*. При каких натуральных $n$ значение выражения $\frac{6}{n-11}$ является натуральным числом?

Согласно условию задачи, переменная $n$ является натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$). Требуется найти все такие $n$, при которых значение выражения $ \frac{6}{n-11} $ также является натуральным числом.

Пусть $k$ — это значение данного выражения. Тогда $k = \frac{6}{n-11}$, где $k$ — натуральное число ($k \in \{1, 2, 3, \dots\}$).

Для того чтобы дробь была равна натуральному числу $k$, её знаменатель, $n-11$, должен быть делителем её числителя, то есть 6.

Кроме того, поскольку числитель 6 положителен и значение дроби $k$ по условию должно быть натуральным (а значит, положительным), знаменатель $n-11$ также должен быть положительным.

Следовательно, выражение $n-11$ должно быть натуральным (положительным) делителем числа 6.

Найдем все натуральные делители числа 6. Это числа: 1, 2, 3, 6.

Теперь рассмотрим четыре возможных случая, приравняв знаменатель к каждому из найденных делителей:

1. Если $n - 11 = 1$, то $n = 1 + 11 = 12$. Проверка: $ \frac{6}{12-11} = \frac{6}{1} = 6 $. Число 6 является натуральным.
2. Если $n - 11 = 2$, то $n = 2 + 11 = 13$. Проверка: $ \frac{6}{13-11} = \frac{6}{2} = 3 $. Число 3 является натуральным.
3. Если $n - 11 = 3$, то $n = 3 + 11 = 14$. Проверка: $ \frac{6}{14-11} = \frac{6}{3} = 2 $. Число 2 является натуральным.
4. Если $n - 11 = 6$, то $n = 6 + 11 = 17$. Проверка: $ \frac{6}{17-11} = \frac{6}{6} = 1 $. Число 1 является натуральным.

Все найденные значения $n$ (12, 13, 14, 17) являются натуральными числами, и для каждого из них значение исходного выражения также является натуральным числом.

Ответ: 12, 13, 14, 17.