Номер 33.5, страница 158 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.5. Верно ли, что общий знаменатель дробей $\frac{a+b}{b-c}$ и $\frac{a-b}{b^2-bc}$ равен:

a) $b(b-c)$;

б) $b^2-c^2$?

Чтобы ответить на вопрос, является ли данное выражение общим знаменателем дробей $ \frac{a+b}{b-c} $ и $ \frac{a-b}{b^2-bc} $, необходимо сначала найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Общим знаменателем будет любое выражение, которое делится без остатка на каждый из знаменателей исходных дробей.

Шаг 1: Разложим на множители знаменатели каждой дроби.
Знаменатель первой дроби: $ b-c $. Это выражение уже является простым.
Знаменатель второй дроби: $ b^2-bc $. Вынесем общий множитель $ b $ за скобки: $ b(b-c) $.

Шаг 2: Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ).
НОЗ должен содержать все множители, входящие в разложение каждого знаменателя, причем каждый множитель берется с наибольшим показателем степени, с которым он входит в разложения.
Множители: $ b $ и $ (b-c) $. Оба входят в разложения в первой степени.
Следовательно, НОЗ равен $ b(b-c) $.

Шаг 3: Проверим предложенные варианты.

а) $ b(b-c) $

Проверим, делится ли выражение $ b(b-c) $ на знаменатели $ b-c $ и $ b(b-c) $.
1. Деление на знаменатель первой дроби: $ \frac{b(b-c)}{b-c} = b $. Деление выполняется без остатка.
2. Деление на знаменатель второй дроби: $ \frac{b(b-c)}{b(b-c)} = 1 $. Деление выполняется без остатка.
Так как выражение $ b(b-c) $ делится на оба знаменателя, оно является их общим знаменателем. Фактически, это и есть наименьший общий знаменатель.
Ответ: Верно.

б) $ b^2-c^2 $

Разложим это выражение на множители по формуле разности квадратов: $ b^2-c^2 = (b-c)(b+c) $.
Теперь проверим, делится ли выражение $ (b-c)(b+c) $ на знаменатели $ b-c $ и $ b(b-c) $.
1. Деление на знаменатель первой дроби: $ \frac{(b-c)(b+c)}{b-c} = b+c $. Деление выполняется без остатка.
2. Деление на знаменатель второй дроби: $ \frac{(b-c)(b+c)}{b(b-c)} = \frac{b+c}{b} $.
В общем случае деление на второй знаменатель $ b(b-c) $ не происходит без остатка, так как результат $ \frac{b+c}{b} $ не является многочленом. Это означает, что $ b^2-c^2 $ не является кратным знаменателю $ b^2-bc $. Следовательно, $ b^2-c^2 $ не является общим знаменателем для данных дробей.
Ответ: Неверно.