Номер 33.12, страница 159 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.12. Верно ли, что при умножении дроби $\frac{a}{b}$ на $\frac{b^2}{a^2}$ полу- чится: а) $\frac{b}{a}$; б) $\frac{a^3 + b^3}{a^2b}$?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо выполнить умножение дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{b^2}{a^2}$ и сравнить полученный результат с предложенными вариантами.

Выполняем умножение дробей. Для этого числитель первой дроби умножаем на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b^2}{a^2} = \frac{a \cdot b^2}{b \cdot a^2}$

Теперь сократим полученную дробь. Мы можем сократить $a$ в числителе и $a^2$ в знаменателе, а также $b^2$ в числителе и $b$ в знаменателе:

$\frac{a \cdot b^2}{b \cdot a^2} = \frac{\cancel{a} \cdot b \cdot \cancel{b}}{\cancel{b} \cdot a \cdot \cancel{a}} = \frac{b}{a}$

Итак, результат умножения равен $\frac{b}{a}$. Теперь проверим предложенные варианты.

а)

Утверждается, что в результате умножения получится дробь $\frac{b}{a}$.

Наш расчет показал, что $\frac{a}{b} \cdot \frac{b^2}{a^2} = \frac{b}{a}$.

Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б)

Утверждается, что в результате умножения получится дробь $\frac{a^3 + b^3}{a^2b}$.

Мы выяснили, что результат умножения равен $\frac{b}{a}$.

Выражение $\frac{a^3 + b^3}{a^2b}$ не равно $\frac{b}{a}$ в общем случае. Чтобы убедиться в этом, подставим произвольные значения переменных, например, $a=1$ и $b=2$.

Результат умножения: $\frac{b}{a} = \frac{2}{1} = 2$.

Значение предложенной дроби: $\frac{a^3 + b^3}{a^2b} = \frac{1^3 + 2^3}{1^2 \cdot 2} = \frac{1 + 8}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Поскольку $2 \neq 4.5$, данное утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.