Номер 33.9, страница 158 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.9. Приведите дроби $\frac{b^m}{a^{4n} + 4a^{2n}b^m + 4b^{2m}}$ и $\frac{a^n}{a^{2n} + 2b^m}$ к общему знаменателю.

Чтобы привести данные дроби к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное их знаменателей. Для этого сначала преобразуем (разложим на множители) знаменатели каждой дроби.

1. Анализ знаменателя первой дроби

Знаменатель первой дроби: $a^{4n} + 4a^{2n}b^m + 4b^{2m}$.

Это выражение можно представить в виде квадрата суммы, используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Пусть $x = a^{2n}$ и $y = 2b^m$. Тогда:

• $x^2 = (a^{2n})^2 = a^{4n}$
• $y^2 = (2b^m)^2 = 4b^{2m}$
• $2xy = 2 \cdot a^{2n} \cdot 2b^m = 4a^{2n}b^m$

Все члены совпадают, следовательно, знаменатель первой дроби является полным квадратом:

$a^{4n} + 4a^{2n}b^m + 4b^{2m} = (a^{2n} + 2b^m)^2$

Таким образом, первая дробь имеет вид:

$\frac{b^m}{(a^{2n} + 2b^m)^2}$

2. Анализ знаменателя второй дроби

Знаменатель второй дроби: $a^{2n} + 2b^m$.

Это выражение уже является простым и не раскладывается на более простые множители.

3. Нахождение общего знаменателя и приведение дробей

Теперь у нас есть два знаменателя: $(a^{2n} + 2b^m)^2$ и $(a^{2n} + 2b^m)$.

Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) для этих выражений будет $(a^{2n} + 2b^m)^2$.

Первая дробь $\frac{b^m}{(a^{2n} + 2b^m)^2}$ уже имеет этот знаменатель, поэтому ее изменять не нужно (дополнительный множитель равен 1).

Для второй дроби $\frac{a^n}{a^{2n} + 2b^m}$ необходимо домножить числитель и знаменатель на дополнительный множитель $(a^{2n} + 2b^m)$, чтобы получить НОЗ:

$\frac{a^n}{a^{2n} + 2b^m} = \frac{a^n \cdot (a^{2n} + 2b^m)}{(a^{2n} + 2b^m) \cdot (a^{2n} + 2b^m)} = \frac{a^n(a^{2n} + 2b^m)}{(a^{2n} + 2b^m)^2}$

Раскроем скобки в числителе полученной дроби:

$a^n(a^{2n} + 2b^m) = a^n \cdot a^{2n} + a^n \cdot 2b^m = a^{n+2n} + 2a^nb^m = a^{3n} + 2a^nb^m$

Итак, вторая дробь после приведения к общему знаменателю будет выглядеть так:

$\frac{a^{3n} + 2a^nb^m}{(a^{2n} + 2b^m)^2}$

Ответ:

После приведения к общему знаменателю дроби принимают вид:

$\frac{b^m}{(a^{2n} + 2b^m)^2}$ и $\frac{a^{3n} + 2a^nb^m}{(a^{2n} + 2b^m)^2}$

или, если записать знаменатель в развернутом виде:

$\frac{b^m}{a^{4n} + 4a^{2n}b^m + 4b^{2m}}$ и $\frac{a^{3n} + 2a^nb^m}{a^{4n} + 4a^{2n}b^m + 4b^{2m}}$