Номер 33.14, страница 159 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.14. Найдите сумму дробей:

а) $ \frac{b-5}{5a^3b^2} $ и $ \frac{a-5}{5a^2b^3} $;

б) $ \frac{3}{a-2b} $ и $ \frac{3}{a+2b} $.

а) Найдем сумму дробей $ \frac{b-5}{5a^3b^2} $ и $ \frac{a-5}{5a^2b^3} $.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для выражений $ 5a^3b^2 $ и $ 5a^2b^3 $.

НОЗ для числовых коэффициентов (5 и 5) равен 5. Для переменных берем каждую в наибольшей степени, в которой она встречается в знаменателях. Это $ a^3 $ и $ b^3 $.
Таким образом, общий знаменатель равен $ 5a^3b^3 $.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби ($ \frac{b-5}{5a^3b^2} $) дополнительный множитель: $ \frac{5a^3b^3}{5a^3b^2} = b $.
• Для второй дроби ($ \frac{a-5}{5a^2b^3} $) дополнительный множитель: $ \frac{5a^3b^3}{5a^2b^3} = a $.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$ \frac{b-5}{5a^3b^2} + \frac{a-5}{5a^2b^3} = \frac{(b-5) \cdot b}{5a^3b^3} + \frac{(a-5) \cdot a}{5a^3b^3} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$ \frac{b(b-5) + a(a-5)}{5a^3b^3} = \frac{b^2 - 5b + a^2 - 5a}{5a^3b^3} $

Запишем слагаемые в числителе в более стандартном порядке:

$ \frac{a^2 + b^2 - 5a - 5b}{5a^3b^3} $

Ответ: $ \frac{a^2+b^2-5a-5b}{5a^3b^3} $

б) Найдем сумму дробей $ \frac{3}{a-2b} $ и $ \frac{3}{a+2b} $.

Знаменатели $ a-2b $ и $ a+2b $ являются сопряженными выражениями. Общий знаменатель для этих дробей будет равен их произведению: $ (a-2b)(a+2b) $.

Используя формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $, преобразуем знаменатель:

$ (a-2b)(a+2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (a+2b) $, для второй — $ (a-2b) $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$ \frac{3}{a-2b} + \frac{3}{a+2b} = \frac{3(a+2b)}{(a-2b)(a+2b)} + \frac{3(a-2b)}{(a-2b)(a+2b)} $

Сложим числители, оставив общий знаменатель:

$ \frac{3(a+2b) + 3(a-2b)}{a^2 - 4b^2} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{3a + 6b + 3a - 6b}{a^2 - 4b^2} = \frac{6a}{a^2 - 4b^2} $

Ответ: $ \frac{6a}{a^2 - 4b^2} $