Номер 33.18, страница 159 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.18. Найдите сумму и разность дробей:

а) $ \frac{5}{m^2 - n^2} $ и $ \frac{5}{(m + n)^2} $;

б) $ \frac{1}{ab - 4b^2} $ и $ \frac{1}{ab + 4b^2} $.

a)

Даны дроби $\frac{5}{m^2 - n^2}$ и $\frac{5}{(m + n)^2}$.

Для нахождения их суммы и разности необходимо привести дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$ (формула разности квадратов)

$(m + n)^2 = (m + n)(m + n)$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих выражений равен $(m - n)(m + n)^2$.

Сумма дробей:

Приведем каждую дробь к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{5}{m^2 - n^2} + \frac{5}{(m + n)^2} = \frac{5}{(m - n)(m + n)} + \frac{5}{(m + n)^2} = \frac{5(m+n)}{(m-n)(m+n)^2} + \frac{5(m-n)}{(m-n)(m+n)^2}$

$= \frac{5(m+n) + 5(m-n)}{(m-n)(m+n)^2} = \frac{5m+5n+5m-5n}{(m-n)(m+n)^2} = \frac{10m}{(m-n)(m+n)^2}$

Разность дробей:

Аналогично, приведем дроби к общему знаменателю и найдем их разность:

$\frac{5}{m^2 - n^2} - \frac{5}{(m + n)^2} = \frac{5(m+n)}{(m-n)(m+n)^2} - \frac{5(m-n)}{(m-n)(m+n)^2}$

$= \frac{5(m+n) - 5(m-n)}{(m-n)(m+n)^2} = \frac{5m+5n-5m+5n}{(m-n)(m+n)^2} = \frac{10n}{(m-n)(m+n)^2}$

Ответ: сумма $\frac{10m}{(m - n)(m + n)^2}$, разность $\frac{10n}{(m - n)(m + n)^2}$.

б)

Даны дроби $\frac{1}{ab - 4b^2}$ и $\frac{1}{ab + 4b^2}$.

Для нахождения их суммы и разности приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки:

$ab - 4b^2 = b(a - 4b)$

$ab + 4b^2 = b(a + 4b)$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ): $b(a - 4b)(a + 4b)$, что также можно записать как $b(a^2 - 16b^2)$.

Сумма дробей:

Приведем каждую дробь к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{1}{ab - 4b^2} + \frac{1}{ab + 4b^2} = \frac{1}{b(a - 4b)} + \frac{1}{b(a + 4b)} = \frac{1(a+4b)}{b(a-4b)(a+4b)} + \frac{1(a-4b)}{b(a-4b)(a+4b)}$

$= \frac{(a+4b) + (a-4b)}{b(a-4b)(a+4b)} = \frac{a+4b+a-4b}{b(a^2 - 16b^2)} = \frac{2a}{b(a^2 - 16b^2)}$

Разность дробей:

Приведем дроби к общему знаменателю и найдем их разность:

$\frac{1}{ab - 4b^2} - \frac{1}{ab + 4b^2} = \frac{1(a+4b)}{b(a-4b)(a+4b)} - \frac{1(a-4b)}{b(a-4b)(a+4b)}$

$= \frac{(a+4b) - (a-4b)}{b(a-4b)(a+4b)} = \frac{a+4b-a+4b}{b(a-4b)(a+4b)} = \frac{8b}{b(a^2-16b^2)}$

Сократим полученную дробь на $b$ (поскольку из области определения исходных дробей следует, что $b \neq 0$):

$\frac{8b}{b(a^2-16b^2)} = \frac{8}{a^2 - 16b^2}$

Ответ: сумма $\frac{2a}{b(a^2 - 16b^2)}$, разность $\frac{8}{a^2 - 16b^2}$.