Номер 33.24, страница 160 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.24. Выполните действия, приведя выражение к несократимой дроби:

а) $\frac{a+2b}{a-2b} \cdot \frac{a}{a+2b}$;

б) $\frac{3a+b}{3a-b} : \frac{a}{3a-b}$;

В) $\frac{3a+b}{3a-b} \cdot \frac{b}{3a+b}$;

Г) $\frac{a+2b}{a-2b} : \frac{a}{2b-a}$.

а) Чтобы выполнить умножение дробей, необходимо перемножить их числители и их знаменатели:
$ \frac{a+2b}{a-2b} \cdot \frac{a}{a+2b} = \frac{(a+2b) \cdot a}{(a-2b) \cdot (a+2b)} $
В полученном выражении есть общий множитель $ (a+2b) $ в числителе и знаменателе. Сократим дробь на этот множитель (при условии, что $ a+2b \neq 0 $):
$ \frac{\cancel{(a+2b)} \cdot a}{(a-2b) \cdot \cancel{(a+2b)}} = \frac{a}{a-2b} $
Ответ: $ \frac{a}{a-2b} $

б) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.
$ \frac{3a+b}{3a-b} : \frac{a}{3a-b} = \frac{3a+b}{3a-b} \cdot \frac{3a-b}{a} $
Теперь выполним умножение, перемножив числители и знаменатели:
$ \frac{(3a+b) \cdot (3a-b)}{(3a-b) \cdot a} $
Сократим общий множитель $ (3a-b) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ 3a-b \neq 0 $ и $ a \neq 0 $):
$ \frac{(3a+b) \cdot \cancel{(3a-b)}}{\cancel{(3a-b)} \cdot a} = \frac{3a+b}{a} $
Ответ: $ \frac{3a+b}{a} $

в) Чтобы перемножить дроби, умножаем их числители и знаменатели друг на друга:
$ \frac{3a+b}{3a-b} \cdot \frac{b}{3a+b} = \frac{(3a+b) \cdot b}{(3a-b) \cdot (3a+b)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (3a+b) $ (при условии, что $ 3a+b \neq 0 $):
$ \frac{\cancel{(3a+b)} \cdot b}{(3a-b) \cdot \cancel{(3a+b)}} = \frac{b}{3a-b} $
Ответ: $ \frac{b}{3a-b} $

г) Заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a+2b}{a-2b} : \frac{a}{2b-a} = \frac{a+2b}{a-2b} \cdot \frac{2b-a}{a} $
Обратим внимание, что выражения $ (a-2b) $ и $ (2b-a) $ являются противоположными, то есть $ 2b-a = -(a-2b) $. Подставим это в наше выражение:
$ \frac{a+2b}{a-2b} \cdot \frac{-(a-2b)}{a} = \frac{(a+2b) \cdot (-(a-2b))}{(a-2b) \cdot a} $
Сократим общий множитель $ (a-2b) $ (при условии, что $ a-2b \neq 0 $ и $ a \neq 0 $):
$ \frac{(a+2b) \cdot (-1) \cdot \cancel{(a-2b)}}{\cancel{(a-2b)} \cdot a} = \frac{-(a+2b)}{a} $
Результат можно записать со знаком минус перед дробью.
Ответ: $ -\frac{a+2b}{a} $