Номер 33.28, страница 161 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.28. Упростите выражение $\frac{2b+a}{a(b+a)} - \frac{a+b}{a^2}$ и найдите его значение при $a=4, b=8$.

Упростите выражение

Для того чтобы упростить выражение $ \frac{2b+a}{a(b+a)} - \frac{a+b}{a^2} $, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Знаменатели дробей: $ a(b+a) $ и $ a^2 $.

Наименьший общий знаменатель для этих выражений — это $ a^2(b+a) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ a $, а для второй — $ (b+a) $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$ \frac{2b+a}{a(b+a)} - \frac{a+b}{a^2} = \frac{a(2b+a)}{a^2(b+a)} - \frac{(a+b)(b+a)}{a^2(b+a)} $

Так как $ (a+b)(b+a) = (a+b)^2 $, получаем:

$ \frac{a(2b+a) - (a+b)^2}{a^2(a+b)} $

Раскроем скобки в числителе. Для $ (a+b)^2 $ используем формулу квадрата суммы: $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

$ \frac{2ab+a^2 - (a^2+2ab+b^2)}{a^2(a+b)} $

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$ \frac{2ab+a^2 - a^2 - 2ab - b^2}{a^2(a+b)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(2ab - 2ab) + (a^2 - a^2) - b^2}{a^2(a+b)} = \frac{-b^2}{a^2(a+b)} $

Упрощенное выражение: $ -\frac{b^2}{a^2(a+b)} $.

Ответ: $ -\frac{b^2}{a^2(a+b)} $.

Найдите его значение при a = 4, b = 8

Теперь подставим заданные значения $ a=4 $ и $ b=8 $ в полученное упрощенное выражение.

$ -\frac{b^2}{a^2(a+b)} = -\frac{8^2}{4^2(4+8)} $

Выполним вычисления по шагам:

1. Возведем в степень: $ 8^2=64 $, $ 4^2=16 $.
2. Вычислим сумму в скобках: $ 4+8=12 $.

Подставим полученные значения обратно в дробь:

$ -\frac{64}{16 \cdot 12} $

Сократим дробь. Можно сократить 64 и 16 на 16:

$ -\frac{4}{12} $

Сократим полученную дробь на 4:

$ -\frac{1}{3} $

Ответ: $ -\frac{1}{3} $.