Номер 33.34, страница 162 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.34. Упростите выражение, выполнив действия:

a) $\frac{a}{4x} + \frac{5}{12y} - \frac{c}{9xy^2}$;

б) $\frac{2x}{3a} + \frac{7}{6b} - \frac{1+y}{2ab}$.

a) $\frac{a}{4x} + \frac{5}{12y} - \frac{c}{9xy^2}$

Для выполнения действий с дробями необходимо привести их к общему знаменателю. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для выражений $4x$, $12y$ и $9xy^2$.

1. Сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) для числовых коэффициентов 4, 12 и 9.

Разложим коэффициенты на простые множители: $4 = 2^2$; $12 = 2^2 \cdot 3$; $9 = 3^2$.

НОК(4, 12, 9) равно произведению всех простых множителей в их наибольших степенях: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

2. Теперь рассмотрим переменные. В знаменателях присутствуют переменные $x$ и $y$. Берем каждую переменную с наибольшим показателем степени, с которым она встречается в знаменателях: $x^1$ (или просто $x$) и $y^2$.

3. Итак, наименьший общий знаменатель равен $36xy^2$.

Далее определим дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель этой дроби:

Для первой дроби ($\frac{a}{4x}$) дополнительный множитель: $\frac{36xy^2}{4x} = 9y^2$.

Для второй дроби ($\frac{5}{12y}$) дополнительный множитель: $\frac{36xy^2}{12y} = 3xy$.

Для третьей дроби ($\frac{c}{9xy^2}$) дополнительный множитель: $\frac{36xy^2}{9xy^2} = 4$.

Теперь умножим числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель и запишем результат под общим знаменателем:

$\frac{a \cdot 9y^2}{4x \cdot 9y^2} + \frac{5 \cdot 3xy}{12y \cdot 3xy} - \frac{c \cdot 4}{9xy^2 \cdot 4} = \frac{9ay^2}{36xy^2} + \frac{15xy}{36xy^2} - \frac{4c}{36xy^2} = \frac{9ay^2 + 15xy - 4c}{36xy^2}$

Дальнейшее упрощение числителя невозможно, так как в нем нет подобных слагаемых.

Ответ: $\frac{9ay^2 + 15xy - 4c}{36xy^2}$

б) $\frac{2x}{3a} + \frac{7}{6b} - \frac{1+y}{2ab}$

Чтобы выполнить действия, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Знаменатели дробей: $3a$, $6b$ и $2ab$.

1. Найдем НОК для числовых коэффициентов 3, 6 и 2. НОК(3, 6, 2) = 6.

2. Переменные в знаменателях — $a$ и $b$. Берем каждую в наибольшей степени, с которой она встречается: $a^1$ и $b^1$.

3. Следовательно, НОЗ равен $6ab$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби ($\frac{2x}{3a}$): $\frac{6ab}{3a} = 2b$.

Для второй дроби ($\frac{7}{6b}$): $\frac{6ab}{6b} = a$.

Для третьей дроби ($\frac{1+y}{2ab}$): $\frac{6ab}{2ab} = 3$.

Умножим числители на их дополнительные множители и выполним сложение и вычитание под общим знаменателем:

$\frac{2x \cdot 2b}{6ab} + \frac{7 \cdot a}{6ab} - \frac{(1+y) \cdot 3}{6ab} = \frac{4bx + 7a - 3(1+y)}{6ab}$

Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак минус перед дробью относится ко всему числителю, поэтому знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные:

$\frac{4bx + 7a - 3 - 3y}{6ab}$

Для удобства можно переставить слагаемые в числителе, но это необязательно. Результат является окончательным.

Ответ: $\frac{7a + 4bx - 3y - 3}{6ab}$