Номер 33.41, страница 162 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.41. Выполните действия:

а) $ \frac{x^2}{3ax - 2 - x + 6a} - \frac{x}{3a - 1}; $

б) $ \frac{x^2 - 4xy}{2y^2 - xy} - \frac{4y}{x - 2y}; $

в) $ \frac{5x^2 + 18x}{5ax - 2 - x + 10a} - \frac{5x}{5a - 1}; $

г) $ \frac{x^2 + 3xy}{3y^2 - xy} + \frac{3x}{x - 3y}. $

а) $\frac{x^2}{3ax - 2 - x + 6a} - \frac{x}{3a - 1}$
Сначала преобразуем знаменатель первой дроби, сгруппировав слагаемые:
$3ax - 2 - x + 6a = (3ax - x) + (6a - 2) = x(3a - 1) + 2(3a - 1) = (x + 2)(3a - 1)$
Теперь перепишем исходное выражение:
$\frac{x^2}{(x + 2)(3a - 1)} - \frac{x}{3a - 1}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(3a - 1)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x + 2)$:
$\frac{x^2}{(x + 2)(3a - 1)} - \frac{x(x + 2)}{(x + 2)(3a - 1)}$
Выполним вычитание дробей:
$\frac{x^2 - x(x + 2)}{(x + 2)(3a - 1)} = \frac{x^2 - x^2 - 2x}{(x + 2)(3a - 1)} = \frac{-2x}{(x + 2)(3a - 1)}$
Ответ: $\frac{-2x}{(x + 2)(3a - 1)}$

б) $\frac{x^2 - 4xy}{2y^2 - xy} - \frac{4y}{x - 2y}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби:
$2y^2 - xy = y(2y - x) = -y(x - 2y)$
Перепишем выражение, вынеся минус перед дробью:
$\frac{x^2 - 4xy}{-y(x - 2y)} - \frac{4y}{x - 2y} = -\frac{x^2 - 4xy}{y(x - 2y)} - \frac{4y}{x - 2y}$
Общий знаменатель равен $y(x - 2y)$. Домножим вторую дробь на $y$:
$-\frac{x^2 - 4xy}{y(x - 2y)} - \frac{4y \cdot y}{y(x - 2y)} = \frac{-(x^2 - 4xy) - 4y^2}{y(x - 2y)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{-x^2 + 4xy - 4y^2}{y(x - 2y)} = \frac{-(x^2 - 4xy + 4y^2)}{y(x - 2y)}$
Числитель является полным квадратом разности $(x - 2y)^2$ со знаком минус:
$\frac{-(x - 2y)^2}{y(x - 2y)}$
Сократим дробь на $(x - 2y)$:
$\frac{-(x - 2y)}{y} = \frac{2y - x}{y}$
Ответ: $\frac{2y - x}{y}$

в) $\frac{5x^2 + 18x}{5ax - 2 - x + 10a} - \frac{5x}{5a - 1}$
Преобразуем знаменатель первой дроби:
$5ax - 2 - x + 10a = (5ax - x) + (10a - 2) = x(5a - 1) + 2(5a - 1) = (x + 2)(5a - 1)$
Перепишем выражение:
$\frac{5x^2 + 18x}{(x + 2)(5a - 1)} - \frac{5x}{5a - 1}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(5a - 1)$, домножив вторую дробь на $(x + 2)$:
$\frac{5x^2 + 18x}{(x + 2)(5a - 1)} - \frac{5x(x + 2)}{(x + 2)(5a - 1)}$
Выполним вычитание:
$\frac{5x^2 + 18x - 5x(x + 2)}{(x + 2)(5a - 1)} = \frac{5x^2 + 18x - 5x^2 - 10x}{(x + 2)(5a - 1)} = \frac{8x}{(x + 2)(5a - 1)}$
Ответ: $\frac{8x}{(x + 2)(5a - 1)}$

г) $\frac{x^2 + 3xy}{3y^2 - xy} + \frac{3x}{x - 3y}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби:
$3y^2 - xy = y(3y - x) = -y(x - 3y)$
Перепишем выражение:
$\frac{x^2 + 3xy}{-y(x - 3y)} + \frac{3x}{x - 3y} = -\frac{x^2 + 3xy}{y(x - 3y)} + \frac{3x}{x - 3y}$
Общий знаменатель равен $y(x - 3y)$. Домножим вторую дробь на $y$:
$-\frac{x^2 + 3xy}{y(x - 3y)} + \frac{3x \cdot y}{y(x - 3y)} = \frac{-(x^2 + 3xy) + 3xy}{y(x - 3y)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{-x^2 - 3xy + 3xy}{y(x - 3y)} = \frac{-x^2}{y(x - 3y)}$
Ответ: $\frac{-x^2}{y(x - 3y)}$