Номер 33.47, страница 163 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.47. Выполните действия: $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy + x^2} \cdot \frac{y^2 + 2xy + y^2}{x^2 - xy}$

Для выполнения умножения дробей необходимо разложить их числители и знаменатели на множители, а затем произвести сокращение.

Исходное выражение:

$$ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy + x^2} \cdot \frac{y^2 + 2xy + y^2}{x^2 - xy} $$

1. Упростим числитель второй дроби, сложив подобные члены:

$$ y^2 + 2xy + y^2 = 2y^2 + 2xy $$

2. Разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей:

• Числитель первой дроби $x^2 - 2xy + y^2$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.
• Знаменатель первой дроби $xy + x^2$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $xy + x^2 = x(y+x)$.
• Упрощенный числитель второй дроби $2y^2 + 2xy$. Вынесем общий множитель $2y$ за скобки: $2y^2 + 2xy = 2y(y+x)$.
• Знаменатель второй дроби $x^2 - xy$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - xy = x(x-y)$.

3. Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$$ \frac{(x-y)^2}{x(x+y)} \cdot \frac{2y(y+x)}{x(x-y)} $$

4. Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:

$$ \frac{(x-y)^2 \cdot 2y(y+x)}{x(x+y) \cdot x(x-y)} $$

5. Сократим полученную дробь на общие множители $(x+y)$ и $(x-y)$. Область допустимых значений: $x \neq 0$, $x \neq y$, $x \neq -y$.

$$ \frac{(x-y)^{\cancel{2}} \cdot 2y \cdot \cancel{(y+x)}}{x \cdot \cancel{(x+y)} \cdot x \cdot \cancel{(x-y)}} = \frac{(x-y) \cdot 2y}{x \cdot x} $$

6. Запишем окончательный результат:

$$ \frac{2y(x-y)}{x^2} $$

Ответ: $ \frac{2y(x-y)}{x^2} $