Номер 33.52, страница 164 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.52*. Найдите значение выражения

$\frac{8a^{3k}b^{3k+4}}{c^{2k}} : \frac{45a^{k+3}}{c^{k+2}} \cdot \frac{2c^{k-1}}{9a^{5k+1}}$, если $a = b, c = 5$.

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его, выполняя действия в том порядке, в котором они записаны (слева направо).

Исходное выражение:

$$ \frac{8a^{3k}b^{3k+4}}{c^{2k}} : \frac{45a^{k+3}}{c^{k+2}} \cdot \frac{2c^{k-1}}{9a^{5k+1}} $$

1. Выполним деление.

Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$$ \left( \frac{8a^{3k}b^{3k+4}}{c^{2k}} : \frac{45a^{k+3}}{c^{k+2}} \right) = \frac{8a^{3k}b^{3k+4}}{c^{2k}} \cdot \frac{c^{k+2}}{45a^{k+3}} $$

2. Выполним умножение.

Теперь умножим результат на третью дробь:

$$ \left( \frac{8a^{3k}b^{3k+4}}{c^{2k}} \cdot \frac{c^{k+2}}{45a^{k+3}} \right) \cdot \frac{2c^{k-1}}{9a^{5k+1}} = \frac{8a^{3k}b^{3k+4} \cdot c^{k+2} \cdot 2c^{k-1}}{c^{2k} \cdot 45a^{k+3} \cdot 9a^{5k+1}} $$

3. Упростим полученное выражение.

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$$ \frac{8 \cdot 2}{45 \cdot 9} \cdot \frac{a^{3k}}{a^{k+3}a^{5k+1}} \cdot b^{3k+4} \cdot \frac{c^{k+2}c^{k-1}}{c^{2k}} $$

Упростим каждую группу, используя свойства степеней ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

• Числовые коэффициенты: $ \frac{16}{405} $
• Степени с основанием a: $ \frac{a^{3k}}{a^{(k+3)+(5k+1)}} = \frac{a^{3k}}{a^{6k+4}} = a^{3k - (6k+4)} = a^{-3k-4} $
• Степени с основанием b: $ b^{3k+4} $
• Степени с основанием c: $ \frac{c^{(k+2)+(k-1)}}{c^{2k}} = \frac{c^{2k+1}}{c^{2k}} = c^{(2k+1)-2k} = c^1 = c $

Собрав все части вместе, получаем упрощенное выражение:

$$ \frac{16}{405} \cdot a^{-3k-4} \cdot b^{3k+4} \cdot c $$

4. Подставим заданные значения.

По условию задачи $a=b$ и $c=5$. Сначала подставим $a=b$ в наше выражение, заменив b на a:

$$ \frac{16}{405} \cdot a^{-3k-4} \cdot a^{3k+4} \cdot c $$

Теперь объединим степени с основанием a:

$$ a^{-3k-4} \cdot a^{3k+4} = a^{(-3k-4) + (3k+4)} = a^0 = 1 $$

Выражение значительно упрощается:

$$ \frac{16}{405} \cdot 1 \cdot c = \frac{16c}{405} $$

Наконец, подставим значение $c=5$:

$$ \frac{16 \cdot 5}{405} = \frac{80}{405} $$

5. Сократим дробь.

Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 5:

$$ \frac{80 : 5}{405 : 5} = \frac{16}{81} $$

Ответ: $ \frac{16}{81} $