Номер 33.55, страница 164 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.55*. Докажите, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$.

Для доказательства воспользуемся методом введения коэффициента пропорциональности. Пусть изначальное равенство $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ верно. Обозначим значение этого отношения как $k$:

$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k $

Из этого соотношения мы можем выразить $a$ и $c$ через $b$, $d$ и $k$:

$ a = bk $

$ c = dk $

Теперь подставим эти выражения в левую и правую части равенства, которое нам нужно доказать: $ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $.

Преобразуем левую часть. Подставив $ a = bk $, получим:

$ \frac{a}{a+b} = \frac{bk}{bk+b} = \frac{bk}{b(k+1)} = \frac{k}{k+1} $

Сокращение на $b$ возможно, так как по условию существования дроби $a/b$ знаменатель $b \neq 0$.

Теперь преобразуем правую часть. Подставив $ c = dk $, получим:

$ \frac{c}{c+d} = \frac{dk}{dk+d} = \frac{dk}{d(k+1)} = \frac{k}{k+1} $

Сокращение на $d$ возможно, так как по условию существования дроби $c/d$ знаменатель $d \neq 0$.

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $ \frac{k}{k+1} $, то равенство $ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $ является верным. Данные преобразования верны при условии, что знаменатели $a+b$ и $c+d$ не равны нулю.

Ответ: Утверждение доказано.