Номер 33.56, страница 164 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.56*. Упростите выражение, представив каждое слагаемое в виде разности дробных выражений:

а) $\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} + \frac{1}{(a+6)(a+8)};$

б) $\frac{1}{b(b+3)} + \frac{1}{(b+3)(b+6)} + \frac{1}{(b+6)(b+9)} + \frac{1}{(b+9)(b+12)}.$

Для упрощения данного выражения представим каждое слагаемое в виде разности дробей. Этот метод основан на тождестве для разложения дроби на простейшие: $\frac{1}{x(x+d)} = \frac{1}{d}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+d}\right)$.
В данном выражении для каждого слагаемого вида $\frac{1}{(a+k)(a+k+2)}$ разность множителей в знаменателе равна 2, то есть $d=2$.
Представим каждое слагаемое в виде разности:
1. $\frac{1}{a(a+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right)$
2. $\frac{1}{(a+2)(a+4)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4}\right)$
3. $\frac{1}{(a+4)(a+6)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6}\right)$
4. $\frac{1}{(a+6)(a+8)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+8}\right)$
Теперь подставим эти разности в исходное выражение:
$\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} + \frac{1}{(a+6)(a+8)} = $
$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+8}\right)$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right) + \left(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4}\right) + \left(\frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6}\right) + \left(\frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+8}\right)\right]$.
Раскроем внутренние скобки. Мы видим, что соседние слагаемые с противоположными знаками взаимно уничтожаются (так называемая телескопическая сумма):
$= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} + \frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6} + \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+8}\right]$.
После сокращения остаются только первое и последнее слагаемые:
$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+8}\right)$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$= \frac{1}{2}\left(\frac{a+8}{a(a+8)} - \frac{a}{a(a+8)}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{a+8-a}{a(a+8)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{a(a+8)}$.
Сократим дробь:
$= \frac{4}{a(a+8)}$.
Ответ: $\frac{4}{a(a+8)}$.

Аналогично пункту а), применим тождество $\frac{1}{x(x+d)} = \frac{1}{d}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+d}\right)$.
В данном выражении для каждого слагаемого вида $\frac{1}{(b+k)(b+k+3)}$ разность множителей в знаменателе равна 3, то есть $d=3$.
Представим каждое слагаемое в виде разности:
1. $\frac{1}{b(b+3)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{b+3}\right)$
2. $\frac{1}{(b+3)(b+6)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{b+3} - \frac{1}{b+6}\right)$
3. $\frac{1}{(b+6)(b+9)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{b+6} - \frac{1}{b+9}\right)$
4. $\frac{1}{(b+9)(b+12)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{b+9} - \frac{1}{b+12}\right)$
Подставим полученные разности в исходное выражение:
$\frac{1}{b(b+3)} + \frac{1}{(b+3)(b+6)} + \frac{1}{(b+6)(b+9)} + \frac{1}{(b+9)(b+12)} = $
$= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{b+3}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{b+3} - \frac{1}{b+6}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{b+6} - \frac{1}{b+9}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{b+9} - \frac{1}{b+12}\right)$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}$ за скобки:
$= \frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{b+3}\right) + \left(\frac{1}{b+3} - \frac{1}{b+6}\right) + \left(\frac{1}{b+6} - \frac{1}{b+9}\right) + \left(\frac{1}{b+9} - \frac{1}{b+12}\right)\right]$.
Раскроем внутренние скобки и сократим взаимно уничтожающиеся слагаемые:
$= \frac{1}{3}\left[\frac{1}{b} - \frac{1}{b+3} + \frac{1}{b+3} - \frac{1}{b+6} + \frac{1}{b+6} - \frac{1}{b+9} + \frac{1}{b+9} - \frac{1}{b+12}\right]$.
Остаются только первое и последнее слагаемые:
$= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{b+12}\right)$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$= \frac{1}{3}\left(\frac{b+12}{b(b+12)} - \frac{b}{b(b+12)}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{b+12-b}{b(b+12)}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{b(b+12)}$.
Сократим дробь:
$= \frac{4}{b(b+12)}$.
Ответ: $\frac{4}{b(b+12)}$.