Номер 34.5, страница 165 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.5. Упростите выражение:

а) $ \left( \frac{x}{y} + 1 \right) \cdot \left( \frac{y}{x+y} - 1 \right); $

б) $ \left( \frac{x}{y} - 1 \right) \cdot \left( \frac{x}{x-y} - 1 \right). $

а) Чтобы упростить данное выражение $(\frac{x}{y} + 1) \cdot (\frac{y}{x+y} - 1)$, выполним действия в каждой скобке по отдельности, приводя слагаемые к общему знаменателю.

1. Упростим выражение в первой скобке:
$\frac{x}{y} + 1 = \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = \frac{x+y}{y}$

2. Упростим выражение во второй скобке:
$\frac{y}{x+y} - 1 = \frac{y}{x+y} - \frac{x+y}{x+y} = \frac{y - (x+y)}{x+y} = \frac{y-x-y}{x+y} = \frac{-x}{x+y}$

3. Теперь перемножим полученные дроби:
$(\frac{x+y}{y}) \cdot (\frac{-x}{x+y}) = \frac{(x+y) \cdot (-x)}{y \cdot (x+y)}$

4. Сократим общий множитель $(x+y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x+y \neq 0$ и $y \neq 0$):
$\frac{-x}{y}$

Ответ: $-\frac{x}{y}$

б) Упростим выражение $(\frac{x}{y} - 1) \cdot (\frac{x}{x-y} - 1)$. Так же, как и в предыдущем пункте, сначала выполним действия в скобках.

1. Упростим выражение в первой скобке:
$\frac{x}{y} - 1 = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = \frac{x-y}{y}$

2. Упростим выражение во второй скобке:
$\frac{x}{x-y} - 1 = \frac{x}{x-y} - \frac{x-y}{x-y} = \frac{x - (x-y)}{x-y} = \frac{x-x+y}{x-y} = \frac{y}{x-y}$

3. Перемножим полученные дроби:
$(\frac{x-y}{y}) \cdot (\frac{y}{x-y}) = \frac{(x-y) \cdot y}{y \cdot (x-y)}$

4. Сократим общие множители $(x-y)$ и $y$ в числителе и знаменателе (при условии, что $y \neq 0$ и $x-y \neq 0$):
$\frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1$

Ответ: $1$