Номер 34.11, страница 166 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.11. Представьте выражение $1 + \frac{24b}{(a - 2b)^2} : \frac{3(a + 6b)}{4ab - a^2 - 4b^2}$ в виде дроби.

Чтобы представить выражение в виде дроби, нужно выполнить действия в соответствии с их приоритетом: сначала деление, затем сложение.

1. Выполним деление.

Рассмотрим часть выражения с делением:

$$ \frac{24b}{(a-2b)^2} : \frac{3(a+6b)}{4ab-a^2-4b^2} $$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

$$ \frac{24b}{(a-2b)^2} \cdot \frac{4ab-a^2-4b^2}{3(a+6b)} $$

Преобразуем знаменатель второй дроби. Вынесем знак минус за скобки, чтобы получить знакомую формулу:

$$ 4ab-a^2-4b^2 = -(a^2 - 4ab + 4b^2) $$

Выражение в скобках представляет собой квадрат разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a-2b)^2$.

Следовательно, знаменатель второй дроби равен $-(a-2b)^2$.

Подставим это преобразованное выражение обратно в нашу операцию умножения:

$$ \frac{24b}{(a-2b)^2} \cdot \frac{-(a-2b)^2}{3(a+6b)} $$

Теперь мы можем сократить одинаковые множители $(a-2b)^2$ в числителе и знаменателе. Также сократим числовые коэффициенты 24 и 3:

$$ \frac{\cancel{3} \cdot 8 \cdot b}{\cancel{(a-2b)^2}} \cdot \frac{-\cancel{(a-2b)^2}}{\cancel{3}(a+6b)} = \frac{8b \cdot (-1)}{a+6b} = -\frac{8b}{a+6b} $$

2. Выполним сложение.

Теперь вернемся к исходному выражению, подставив в него результат деления:

$$ 1 + \left(-\frac{8b}{a+6b}\right) = 1 - \frac{8b}{a+6b} $$

Чтобы выполнить вычитание, приведем 1 к дроби со знаменателем $(a+6b)$:

$$ \frac{a+6b}{a+6b} - \frac{8b}{a+6b} $$

Теперь объединим дроби, вычитая их числители:

$$ \frac{(a+6b) - 8b}{a+6b} = \frac{a+6b-8b}{a+6b} = \frac{a-2b}{a+6b} $$

Ответ: $\frac{a-2b}{a+6b}$