Номер 34.13, страница 166 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.13. Упростите выражение, выполнив указанные действия:

а) $(\frac{5}{a-1} + \frac{5}{a+1}) \cdot \frac{a^2-1}{a};$

б) $(\frac{5a}{a-1} - \frac{5}{a+1}) : \frac{a^2+1}{a^2-1}.$

а) $(\frac{5}{a-1} + \frac{5}{a+1}) \cdot \frac{a^2-1}{a}$

1. Сначала выполним действие в скобках — сложение дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю $(a-1)(a+1)$.

$\frac{5}{a-1} + \frac{5}{a+1} = \frac{5(a+1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{5(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{5(a+1) + 5(a-1)}{(a-1)(a+1)}$

2. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{5a + 5 + 5a - 5}{(a-1)(a+1)} = \frac{10a}{(a-1)(a+1)}$

3. Теперь выполним умножение. Заметим, что знаменатель $(a-1)(a+1)$ по формуле разности квадратов равен $a^2-1$. Подставим полученное выражение в исходное:

$(\frac{10a}{(a-1)(a+1)}) \cdot \frac{a^2-1}{a} = \frac{10a}{a^2-1} \cdot \frac{a^2-1}{a}$

4. Сократим дробь на общие множители $a$ и $a^2-1$ (при условии, что $a \neq 0, a \neq 1, a \neq -1$):

$\frac{10\cancel{a}}{\cancel{a^2-1}} \cdot \frac{\cancel{a^2-1}}{\cancel{a}} = 10$

Ответ: $10$

б) $(\frac{5a}{a-1} - \frac{5}{a+1}) : \frac{a^2+1}{a^2-1}$

1. Сначала выполним действие в скобках — вычитание дробей. Общий знаменатель $(a-1)(a+1)$.

$\frac{5a}{a-1} - \frac{5}{a+1} = \frac{5a(a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{5(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{5a(a+1) - 5(a-1)}{(a-1)(a+1)}$

2. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{5a^2 + 5a - 5a + 5}{(a-1)(a+1)} = \frac{5a^2+5}{(a-1)(a+1)} = \frac{5(a^2+1)}{(a-1)(a+1)}$

3. Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь и используем формулу разности квадратов $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.

$(\frac{5(a^2+1)}{(a-1)(a+1)}) : \frac{a^2+1}{a^2-1} = \frac{5(a^2+1)}{a^2-1} \cdot \frac{a^2-1}{a^2+1}$

4. Сократим дробь на общие множители $a^2+1$ и $a^2-1$ (при условии, что $a \neq 1, a \neq -1$):

$\frac{5(\cancel{a^2+1})}{(\cancel{a^2-1})} \cdot \frac{(\cancel{a^2-1})}{(\cancel{a^2+1})} = 5$

Ответ: $5$