Номер 34.18, страница 167 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.18. Выполните действия:

а) $\frac{7}{3x - 1} - \frac{5}{2x - 1} : \frac{3x - 1}{4x^2 - 1};$

б) $\frac{6}{2x + 3} - \frac{5}{2x + 1} : \frac{2x + 3}{4x^2 - 1}.$

а)

Исходное выражение: $\frac{7}{3x-1} - \frac{5}{2x-1} : \frac{3x-1}{4x^2-1}$.

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, а затем вычитание.

1. Выполним деление дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$\frac{5}{2x-1} : \frac{3x-1}{4x^2-1} = \frac{5}{2x-1} \cdot \frac{4x^2-1}{3x-1}$

Знаменатель второй дроби $4x^2-1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4x^2-1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x-1)(2x+1)$

Подставим разложенный многочлен в наше выражение и сократим общие множители:

$\frac{5}{2x-1} \cdot \frac{(2x-1)(2x+1)}{3x-1} = \frac{5 \cdot \cancel{(2x-1)}(2x+1)}{\cancel{(2x-1)} \cdot (3x-1)} = \frac{5(2x+1)}{3x-1}$

2. Теперь выполним вычитание, подставив результат деления в исходное выражение.

$\frac{7}{3x-1} - \frac{5(2x+1)}{3x-1}$

Так как у дробей одинаковый знаменатель, вычтем их числители:

$\frac{7 - 5(2x+1)}{3x-1} = \frac{7 - 10x - 5}{3x-1} = \frac{2 - 10x}{3x-1}$

Ответ: $\frac{2-10x}{3x-1}$.

б)

Исходное выражение: $\frac{6}{2x+3} - \frac{5}{2x+1} : \frac{2x+3}{4x^2-1}$.

Сначала выполним деление, затем вычитание.

1. Выполним деление.

$\frac{5}{2x+1} : \frac{2x+3}{4x^2-1} = \frac{5}{2x+1} \cdot \frac{4x^2-1}{2x+3}$

Разложим на множители выражение $4x^2-1$ как разность квадратов:

$4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$

Подставим и сократим:

$\frac{5}{2x+1} \cdot \frac{(2x-1)(2x+1)}{2x+3} = \frac{5 \cdot (2x-1)\cancel{(2x+1)}}{\cancel{(2x+1)} \cdot (2x+3)} = \frac{5(2x-1)}{2x+3}$

2. Теперь выполним вычитание.

$\frac{6}{2x+3} - \frac{5(2x-1)}{2x+3}$

Дроби имеют общий знаменатель, поэтому вычитаем числители:

$\frac{6 - 5(2x-1)}{2x+3} = \frac{6 - 10x + 5}{2x+3} = \frac{11 - 10x}{2x+3}$

Ответ: $\frac{11-10x}{2x+3}$.