Номер 34.19, страница 167 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.19. Упростите выражение $(3a + 2b) \cdot \frac{a}{9a^2 - 4b^2} + \frac{2ba}{2b - 3a}$

Для того чтобы упростить выражение $(3a + 2b) \cdot \frac{a}{9a^2 - 4b^2} + \frac{2ba}{2b - 3a}$, необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала умножение, а затем сложение.

1. Упростим первое слагаемое. Знаменатель дроби $9a^2 - 4b^2$ является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2 = (3a - 2b)(3a + 2b)$

Теперь выполним умножение, подставив разложенный знаменатель:

$(3a + 2b) \cdot \frac{a}{(3a - 2b)(3a + 2b)}$

Сократим общий множитель $(3a + 2b)$, при условии что он не равен нулю:

$\frac{\cancel{(3a + 2b)} \cdot a}{(3a - 2b)\cancel{(3a + 2b)}} = \frac{a}{3a - 2b}$

2. Теперь исходное выражение принимает вид:

$\frac{a}{3a - 2b} + \frac{2ba}{2b - 3a}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $2b - 3a$ можно представить как $-(3a - 2b)$. Вынесем знак минус перед дробью:

$\frac{2ba}{2b - 3a} = \frac{2ab}{-(3a - 2b)} = -\frac{2ab}{3a - 2b}$

3. Подставим преобразованную дробь в выражение и выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a}{3a - 2b} - \frac{2ab}{3a - 2b} = \frac{a - 2ab}{3a - 2b}$

4. В числителе полученной дроби можно вынести за скобки общий множитель $a$:

$\frac{a(1 - 2b)}{3a - 2b}$

Дальнейшее упрощение данного выражения невозможно.

Ответ: $\frac{a(1 - 2b)}{3a - 2b}$