Номер 34.25, страница 168 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.25. Упростите выражение, выполнив действия:

а) $ \frac{ab - b^2}{8} \cdot \frac{32a}{b^2} - \frac{4a - 4b}{b} $

б) $ \left(2a - \frac{2a^2 + 2b^2}{a + b}\right) \cdot \left(\frac{1}{b} + \frac{2}{a - b}\right) $

а) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним умножение дробей.

1. Разложим на множители числитель первой дроби: $ab - b^2 = b(a-b)$.

$\frac{ab - b^2}{8} \cdot \frac{32a}{b^2} = \frac{b(a - b)}{8} \cdot \frac{32a}{b^2}$

2. Перемножим дроби и сократим общие множители:

$\frac{b(a - b) \cdot 32a}{8 \cdot b^2} = \frac{\cancel{b}(a - b) \cdot \cancel{32}^4 a}{\cancel{8} \cdot b^{\cancel{2}}} = \frac{4a(a - b)}{b}$

3. Теперь выполним вычитание. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. В данном случае знаменатель уже общий ($b$).

$\frac{4a(a - b)}{b} - \frac{4a - 4b}{b}$

4. Вынесем общий множитель в числителе второй дроби: $4a - 4b = 4(a-b)$.

$\frac{4a(a - b)}{b} - \frac{4(a - b)}{b} = \frac{4a(a - b) - 4(a - b)}{b}$

5. В числителе вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$\frac{(a-b)(4a-4)}{b}$

6. В выражении $(4a-4)$ вынесем за скобки 4:

$\frac{4(a-b)(a-1)}{b}$

Ответ: $\frac{4(a-1)(a-b)}{b}$

б) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в каждой из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке. Приведем к общему знаменателю $(a+b)$:

$2a - \frac{2a^2 + 2b^2}{a+b} = \frac{2a(a+b)}{a+b} - \frac{2a^2 + 2b^2}{a+b} = \frac{2a^2 + 2ab - (2a^2 + 2b^2)}{a+b}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a^2 + 2ab - 2a^2 - 2b^2}{a+b} = \frac{2ab - 2b^2}{a+b}$

Вынесем общий множитель $2b$ в числителе:

$\frac{2b(a-b)}{a+b}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем к общему знаменателю $b(a-b)$:

$\frac{1}{b} + \frac{2}{a-b} = \frac{1(a-b)}{b(a-b)} + \frac{2b}{b(a-b)} = \frac{a-b+2b}{b(a-b)} = \frac{a+b}{b(a-b)}$

3. Теперь перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$\frac{2b(a-b)}{a+b} \cdot \frac{a+b}{b(a-b)}$

4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $b$, $(a-b)$, и $(a+b)$.

$\frac{2\cancel{b}(\cancel{a-b})}{\cancel{a+b}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{b}(\cancel{a-b})} = 2$

Ответ: $2$