Номер 34.21, страница 167 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.21. Выполните действия:

a) $\left( \frac{4}{(a-b)^2} + \frac{4}{(a+b)^2} \right) : \frac{8ab}{a^2 - b^2};$

б) $\left( \frac{4}{(a-b)^2} - \frac{4}{(a+b)^2} \right) \cdot \frac{a-b}{ab}.$

а) $(\frac{4}{(a-b)^2} + \frac{4}{(a+b)^2}) : \frac{8ab}{a^2-b^2}$

1. Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{4}{(a-b)^2}$ и $\frac{4}{(a+b)^2}$ будет $(a-b)^2(a+b)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4}{(a-b)^2} + \frac{4}{(a+b)^2} = \frac{4(a+b)^2}{(a-b)^2(a+b)^2} + \frac{4(a-b)^2}{(a-b)^2(a+b)^2} = \frac{4(a+b)^2 + 4(a-b)^2}{(a-b)^2(a+b)^2}$

2. Вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе и раскроем квадраты суммы и разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$\frac{4((a+b)^2 + (a-b)^2)}{((a-b)(a+b))^2} = \frac{4((a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2))}{(a^2-b^2)^2} = \frac{4(2a^2+2b^2)}{(a^2-b^2)^2} = \frac{8(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)^2}$

3. Теперь выполним деление. Разделить на дробь - это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$\frac{8(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)^2} : \frac{8ab}{a^2-b^2} = \frac{8(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)^2} \cdot \frac{a^2-b^2}{8ab}$

4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (8 и $a^2-b^2$):

$\frac{\cancel{8}(a^2+b^2)}{(\cancel{a^2-b^2})(a^2-b^2)} \cdot \frac{\cancel{a^2-b^2}}{\cancel{8}ab} = \frac{a^2+b^2}{ab(a^2-b^2)}$

Ответ: $\frac{a^2+b^2}{ab(a^2-b^2)}$

б) $(\frac{4}{(a-b)^2} - \frac{4}{(a+b)^2}) \cdot \frac{a-b}{ab}$

1. Сначала выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель, как и в предыдущем примере, $(a-b)^2(a+b)^2$.

$\frac{4}{(a-b)^2} - \frac{4}{(a+b)^2} = \frac{4(a+b)^2 - 4(a-b)^2}{(a-b)^2(a+b)^2}$

2. Вынесем 4 за скобки в числителе. В числителе получилась разность квадратов: $(a+b)^2 - (a-b)^2$. Можно раскрыть скобки или применить формулу $(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)$.

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = ((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b)) = (a+b-a+b)(a+b+a-b) = (2b)(2a) = 4ab$.

Подставим это в выражение:

$\frac{4(4ab)}{((a-b)(a+b))^2} = \frac{16ab}{(a^2-b^2)^2}$

3. Теперь выполним умножение:

$\frac{16ab}{(a^2-b^2)^2} \cdot \frac{a-b}{ab}$

4. Разложим знаменатель $(a^2-b^2)^2$ на множители: $(a^2-b^2)^2 = ((a-b)(a+b))^2 = (a-b)^2(a+b)^2$.

$\frac{16ab}{(a-b)^2(a+b)^2} \cdot \frac{a-b}{ab} = \frac{16ab(a-b)}{ab(a-b)^2(a+b)^2}$

Сократим одинаковые множители $ab$ и $(a-b)$:

$\frac{16\cancel{ab}(\cancel{a-b})}{\cancel{ab}(a-b)^{\cancel{2}}(a+b)^2} = \frac{16}{(a-b)(a+b)^2}$

Ответ: $\frac{16}{(a-b)(a+b)^2}$