Номер 34.23, страница 167 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.23. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

a) $( \frac{a+3}{a^2-1} - \frac{1}{a^2+a} ) : \frac{3a+3}{a^2-a}$

б) $( \frac{2a+6}{a^2-1} - \frac{2}{a^2+a} ) : \frac{2a+2}{a^2-a}$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо его упростить. Будем выполнять действия по порядку.

Исходное выражение: $ \left( \frac{a+3}{a^2-1} - \frac{1}{a^2+a} \right) : \frac{3a+3}{a^2-a} $

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки.

$ a^2-1 = (a-1)(a+1) $

$ a^2+a = a(a+1) $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ a(a-1)(a+1) $:

$ \frac{a+3}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a(a+1)} = \frac{a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{a(a-1)(a+1)} $

Выполним вычитание числителей:

$ \frac{a(a+3) - (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+3a-a+1}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1}{a(a-1)(a+1)} $

Числитель $ a^2+2a+1 $ является полным квадратом суммы $ (a+1)^2 $.

$ \frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{a(a-1)} $ (сократили дробь на $ (a+1) $).

2. Теперь выполним деление. Сначала упростим делитель:

$ \frac{3a+3}{a^2-a} = \frac{3(a+1)}{a(a-1)} $

Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$ \frac{a+1}{a(a-1)} : \frac{3(a+1)}{a(a-1)} = \frac{a+1}{a(a-1)} \cdot \frac{a(a-1)}{3(a+1)} $

Сокращаем одинаковые множители $ (a+1) $, $ a $ и $ (a-1) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{a+1}}{\cancel{a(a-1)}} \cdot \frac{\cancel{a(a-1)}}{3(\cancel{a+1})} = \frac{1}{3} $

В результате упрощения мы получили число $ \frac{1}{3} $, которое не зависит от значения переменной $ a $. Это доказывает утверждение задачи (при условии, что $ a \neq 0, a \neq \pm 1 $).

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

Упростим данное выражение аналогично предыдущему пункту.

Исходное выражение: $ \left( \frac{2a+6}{a^2-1} - \frac{2}{a^2+a} \right) : \frac{2a+2}{a^2-a} $

1. Выполним действие в скобках. Разложим числители и знаменатели на множители:

$ \frac{2(a+3)}{(a-1)(a+1)} - \frac{2}{a(a+1)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ a(a-1)(a+1) $:

$ \frac{2a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{2(a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{2a(a+3) - 2(a-1)}{a(a-1)(a+1)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{2a^2+6a - 2a+2}{a(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2+4a+2}{a(a-1)(a+1)} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 и свернем выражение в скобках по формуле полного квадрата:

$ \frac{2(a^2+2a+1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{2(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)} $

Сократим дробь на $ (a+1) $:

$ \frac{2(a+1)}{a(a-1)} $

2. Упростим делитель:

$ \frac{2a+2}{a^2-a} = \frac{2(a+1)}{a(a-1)} $

3. Выполним деление. Мы видим, что делимое и делитель равны:

$ \frac{2(a+1)}{a(a-1)} : \frac{2(a+1)}{a(a-1)} = 1 $

Это верно для всех допустимых значений $a$, при которых выражение не равно нулю (т.е. $ a \neq -1 $, что уже учтено в области определения).

В результате упрощения мы получили число 1, которое не зависит от значения переменной $a$. Утверждение доказано (при условии, что $ a \neq 0, a \neq \pm 1 $).

Ответ: 1.