Номер 34.20, страница 167 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.20. Упростите выражение:

а) $\left(\frac{x+4}{3x+3} - \frac{1}{x+1}\right) \cdot \frac{3}{x+1} - \frac{2}{1-x^2};$

б) $\left(\frac{x+10}{5x+25} - \frac{1}{x+5}\right) \cdot \frac{5}{x-5} - \frac{10}{x^2-25}.$

а) $(\frac{x+4}{3x+3} - \frac{1}{x+1}) \cdot \frac{3}{x+1} - \frac{2}{1-x^2}$
Сначала выполним действие в скобках. Для этого вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби $3x+3 = 3(x+1)$ и приведем дроби к общему знаменателю $3(x+1)$:
$\frac{x+4}{3(x+1)} - \frac{1}{x+1} = \frac{x+4}{3(x+1)} - \frac{1 \cdot 3}{3(x+1)} = \frac{x+4-3}{3(x+1)} = \frac{x+1}{3(x+1)} = \frac{1}{3}$.
Далее выполним умножение результата на дробь $\frac{3}{x+1}$:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x+1} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot (x+1)} = \frac{1}{x+1}$.
Теперь выполним вычитание. Разложим знаменатель второй дроби $1-x^2$ по формуле разности квадратов: $1-x^2 = (1-x)(1+x)$.
$\frac{1}{x+1} - \frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{x+1} - \frac{2}{(1-x)(1+x)}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(1-x)(1+x)$:
$\frac{1 \cdot (1-x)}{(1+x)(1-x)} - \frac{2}{(1-x)(1+x)} = \frac{1-x-2}{(1-x)(1+x)} = \frac{-x-1}{(1-x)(1+x)}$.
Вынесем знак минус в числителе за скобки и сократим дробь на $(x+1)$:
$\frac{-(x+1)}{(1-x)(1+x)} = \frac{-1}{1-x} = \frac{-1}{-(x-1)} = \frac{1}{x-1}$.
Ответ: $\frac{1}{x-1}$

б) $(\frac{x+10}{5x+25} - \frac{1}{x+5}) \cdot \frac{5}{x-5} - \frac{10}{x^2-25}$
Сначала упростим выражение в скобках. Вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби $5x+25 = 5(x+5)$ и приведем дроби к общему знаменателю $5(x+5)$:
$\frac{x+10}{5(x+5)} - \frac{1}{x+5} = \frac{x+10}{5(x+5)} - \frac{1 \cdot 5}{5(x+5)} = \frac{x+10-5}{5(x+5)} = \frac{x+5}{5(x+5)} = \frac{1}{5}$.
Далее выполним умножение:
$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{x-5} = \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot (x-5)} = \frac{1}{x-5}$.
Теперь выполним вычитание. Разложим знаменатель второй дроби $x^2-25$ по формуле разности квадратов: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.
$\frac{1}{x-5} - \frac{10}{x^2-25} = \frac{1}{x-5} - \frac{10}{(x-5)(x+5)}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-5)(x+5)$:
$\frac{1 \cdot (x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{10}{(x-5)(x+5)} = \frac{x+5-10}{(x-5)(x+5)} = \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}$.
Сократим дробь на $(x-5)$:
$\frac{1}{x+5}$.
Ответ: $\frac{1}{x+5}$