Номер 34.14, страница 166 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.14. Упростите выражение $a - \left(\frac{a+4}{a-4} + 1\right) : \frac{6a^2}{a^2-16}$

Для упрощения данного выражения выполним действия в соответствии с их порядком: сначала действие в скобках, затем деление, и в конце — вычитание.

1. Выполним сложение в скобках. Для этого представим 1 в виде дроби со знаменателем $(a-4)$ и сложим с первой дробью:

$\frac{a+4}{a-4} + 1 = \frac{a+4}{a-4} + \frac{a-4}{a-4} = \frac{(a+4) + (a-4)}{a-4} = \frac{a+4+a-4}{a-4} = \frac{2a}{a-4}$

2. Теперь выполним деление. Разделим результат первого действия на дробь $\frac{6a^2}{a^2 - 16}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Также разложим знаменатель $a^2 - 16$ на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 16 = (a-4)(a+4)$.

$\frac{2a}{a-4} : \frac{6a^2}{a^2 - 16} = \frac{2a}{a-4} \cdot \frac{a^2 - 16}{6a^2} = \frac{2a}{a-4} \cdot \frac{(a-4)(a+4)}{6a^2}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $(a-4)$ сокращается. Также сокращаем $2a$ и $6a^2$ (на $2a$).

$\frac{\cancel{2a}}{\cancel{a-4}} \cdot \frac{\cancel{(a-4)}(a+4)}{\cancel{6a^2}_{3a}} = \frac{a+4}{3a}$

3. На заключительном этапе выполним вычитание. Вычтем из $a$ дробь, полученную в результате второго действия.

$a - \frac{a+4}{3a}$

Приведем $a$ к общему знаменателю $3a$:

$a - \frac{a+4}{3a} = \frac{a \cdot 3a}{3a} - \frac{a+4}{3a} = \frac{3a^2 - (a+4)}{3a}$

Раскроем скобки в числителе, учитывая знак минус перед дробью:

$\frac{3a^2 - a - 4}{3a}$

Это и есть итоговое упрощенное выражение.

Ответ: $\frac{3a^2 - a - 4}{3a}$