Номер 34.12, страница 166 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.12. Выполните действия с рациональными дробями:

$(\frac{3}{b+5} - \frac{15}{25-b^2}) \cdot \frac{(b-5)^2}{b} + \frac{1}{b+5}$

Для решения данного примера будем выполнять действия по порядку: сначала действия в скобках, затем умножение и в конце сложение.

1. Выполним вычитание в скобках.

$\frac{3}{b+5} - \frac{15}{25-b^2}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$25-b^2 = (5-b)(5+b)$

Чтобы привести знаменатели к общему виду, вынесем знак минус в выражении $(5-b)$: $(5-b) = -(b-5)$.

Выражение в скобках примет вид:

$\frac{3}{b+5} - \frac{15}{(5-b)(5+b)} = \frac{3}{b+5} - \frac{15}{-(b-5)(b+5)} = \frac{3}{b+5} + \frac{15}{(b-5)(b+5)}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(b-5)(b+5)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(b-5)$:

$\frac{3(b-5)}{(b-5)(b+5)} + \frac{15}{(b-5)(b+5)}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3(b-5) + 15}{(b-5)(b+5)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{3b - 15 + 15}{(b-5)(b+5)} = \frac{3b}{(b-5)(b+5)}$

2. Выполним умножение.

Умножим результат, полученный в первом действии, на дробь $\frac{(b-5)^2}{b}$:

$\frac{3b}{(b-5)(b+5)} \cdot \frac{(b-5)^2}{b}$

Сократим общие множители $b$ и $(b-5)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3\cancel{b}}{\cancel{(b-5)}(b+5)} \cdot \frac{(b-5)^{\cancel{2}}}{\cancel{b}} = \frac{3(b-5)}{b+5}$

3. Выполним сложение.

К результату второго действия прибавим последнюю дробь $\frac{1}{b+5}$:

$\frac{3(b-5)}{b+5} + \frac{1}{b+5}$

Так как знаменатели у дробей одинаковые, сложим их числители:

$\frac{3(b-5) + 1}{b+5}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3b - 15 + 1}{b+5} = \frac{3b - 14}{b+5}$

Ответ: $\frac{3b-14}{b+5}$.