Номер 34.6, страница 165 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.6. Установите порядок действий и выполните действия по порядку:

а) $ \frac{2}{b-a} : \frac{b}{a-b} + \frac{3}{b}; $

б) $ \frac{x}{y+x} \cdot \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right). $

а)

Исходное выражение: $ \frac{2}{b-a} : \frac{b}{a-b} + \frac{3}{b} $

Порядок действий предписывает сначала выполнить деление, а затем сложение.

1. Первым действием выполним деление дробей. Обратим внимание, что знаменатель первой дроби $b-a$ и знаменатель второй дроби $a-b$ являются противоположными выражениями. Мы можем записать $b-a = -(a-b)$.

$ \frac{2}{b-a} : \frac{b}{a-b} = \frac{2}{-(a-b)} : \frac{b}{a-b} $

Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{2}{-(a-b)} \cdot \frac{a-b}{b} $

Теперь мы можем сократить общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе:

$ -\frac{2}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{\cancel{a-b}}{b} = -\frac{2}{b} $

2. Вторым действием выполним сложение результата первого действия и дроби $\frac{3}{b}$.

$ -\frac{2}{b} + \frac{3}{b} $

Так как у дробей одинаковый знаменатель, складываем их числители:

$ \frac{-2+3}{b} = \frac{1}{b} $

Ответ: $ \frac{1}{b} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{x}{y+x} \cdot (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) $

Согласно порядку действий, сначала выполняются операции в скобках, а затем умножение.

1. Первым действием выполним вычитание дробей в скобках. Для этого найдем общий знаменатель, который равен $xy$.

$ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy} $

В числителе мы получили разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} $

2. Вторым действием умножим результат, полученный в скобках, на дробь $\frac{x}{y+x}$.

$ \frac{x}{y+x} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{xy} $

Учитывая, что $y+x = x+y$, мы можем сократить общие множители $x$ и $(x+y)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x}}{\cancel{x+y}} \cdot \frac{(x-y)(\cancel{x+y})}{\cancel{x}y} = \frac{x-y}{y} $

Ответ: $ \frac{x-y}{y} $