Номер 34.3, страница 165 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.3. Представьте в виде дроби рациональное выражение:

a) $\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) \cdot \frac{ab}{a+b}$;

б) $\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) : \frac{b+a}{a}$.

а) Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $ab$:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$
Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:
$(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{a^2 + b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{a+b}$
Сократим общие множители $ab$ в числителе и знаменателе:
$\frac{a^2 + b^2}{\cancel{ab}} \cdot \frac{\cancel{ab}}{a+b} = \frac{a^2 + b^2}{a+b}$
Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a+b}$

б) Сначала выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель также равен $ab$:
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$
Числитель полученной дроби можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{a^2 - b^2}{ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Учтем, что $b+a = a+b$:
$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{b+a}{a} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{a}{a+b}$
Сократим общие множители $a$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{\cancel{a}b} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{a+b}} = \frac{a-b}{b}$
Ответ: $\frac{a-b}{b}$