Номер 33.53, страница 164 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.53*. Упростите выражение

$(2x^2 + 1)(4x^4 + 1)(16x^8 + 1) \cdot \frac{2x - 1}{256x^{16} - 1}$

Чтобы упростить данное выражение, $(2x^2 + 1)(4x^4 + 1)(16x^8 + 1) \cdot \frac{2x - 1}{256x^{16} - 1}$, мы воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ несколько раз.

Сначала рассмотрим произведение многочленов: $P = (2x^2 + 1)(4x^4 + 1)(16x^8 + 1)$. Это выражение похоже на часть телескопического произведения. Чтобы "свернуть" его, нам не хватает множителя $(2x^2 - 1)$. Домножим и разделим произведение $P$ на $(2x^2 - 1)$ (при условии, что $2x^2 - 1 \neq 0$):

$P = \frac{(2x^2 - 1)(2x^2 + 1)(4x^4 + 1)(16x^8 + 1)}{2x^2 - 1}$

Теперь последовательно применяем формулу разности квадратов к числителю:

1. $(2x^2 - 1)(2x^2 + 1) = (2x^2)^2 - 1^2 = 4x^4 - 1$.
После этого числитель становится: $(4x^4 - 1)(4x^4 + 1)(16x^8 + 1)$.

2. $(4x^4 - 1)(4x^4 + 1) = (4x^4)^2 - 1^2 = 16x^8 - 1$.
Теперь числитель равен: $(16x^8 - 1)(16x^8 + 1)$.

3. $(16x^8 - 1)(16x^8 + 1) = (16x^8)^2 - 1^2 = 256x^{16} - 1$.

Таким образом, мы получили, что $P = (2x^2 + 1)(4x^4 + 1)(16x^8 + 1) = \frac{256x^{16} - 1}{2x^2 - 1}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{256x^{16} - 1}{2x^2 - 1} \cdot \frac{2x - 1}{256x^{16} - 1}$

Сократим общий множитель $(256x^{16} - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{1}{2x^2 - 1} \cdot (2x - 1) = \frac{2x - 1}{2x^2 - 1}$

Ответ: $\frac{2x - 1}{2x^2 - 1}$