Номер 34.2, страница 165 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.2. Установите порядок действий и выполните действия

по порядку:

а) $\left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) : \frac{1}{xy};$

б) $\left(\frac{2x}{y} + \frac{2y}{x}\right) : \frac{4}{x^2y^2};$

в) $\left(\frac{25}{a} - \frac{5}{b}\right) : \frac{5}{ab};$

г) $\frac{3x}{y} - \frac{63}{y} \cdot \frac{x}{42}.$

а) В выражении $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) : \frac{1}{xy}$ порядок действий следующий: сначала выполняем вычитание в скобках, затем деление.
1. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{x}{y}$ и $\frac{y}{x}$ равен $xy$.
$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$.
2. Выполним деление результата на дробь $\frac{1}{xy}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.
$\frac{x^2 - y^2}{xy} : \frac{1}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \cdot \frac{xy}{1}$.
Сокращаем $xy$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(x^2 - y^2) \cdot xy}{xy} = x^2 - y^2$.
Ответ: $x^2 - y^2$.

б) В выражении $(\frac{2x}{y} + \frac{2y}{x}) : \frac{4}{x^2y^2}$ сначала выполняем сложение в скобках, а затем деление.
1. Выполним сложение дробей в скобках. Общий знаменатель $xy$.
$\frac{2x}{y} + \frac{2y}{x} = \frac{2x \cdot x}{y \cdot x} + \frac{2y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{2x^2}{xy} + \frac{2y^2}{xy} = \frac{2x^2 + 2y^2}{xy} = \frac{2(x^2 + y^2)}{xy}$.
2. Выполним деление.
$\frac{2(x^2 + y^2)}{xy} : \frac{4}{x^2y^2} = \frac{2(x^2 + y^2)}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{4}$.
Сократим выражение:
$\frac{2(x^2 + y^2)x^2y^2}{4xy} = \frac{(x^2 + y^2)xy}{2}$.
Ответ: $\frac{xy(x^2 + y^2)}{2}$.

в) В выражении $(\frac{25}{a} - \frac{5}{b}) : \frac{5}{ab}$ сначала выполняем вычитание в скобках, а затем деление.
1. Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель $ab$.
$\frac{25}{a} - \frac{5}{b} = \frac{25 \cdot b}{a \cdot b} - \frac{5 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{25b - 5a}{ab}$.
Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:
$\frac{5(5b - a)}{ab}$.
2. Выполним деление.
$\frac{5(5b - a)}{ab} : \frac{5}{ab} = \frac{5(5b - a)}{ab} \cdot \frac{ab}{5}$.
Сократим общие множители 5 и $ab$:
$\frac{\cancel{5}(5b - a)}{\cancel{ab}} \cdot \frac{\cancel{ab}}{\cancel{5}} = 5b - a$.
Ответ: $5b - a$.

г) В выражении $\frac{3x}{y} - \frac{63}{y} \cdot \frac{x}{42}$ сначала выполняем умножение, а затем вычитание.
1. Выполним умножение дробей.
$\frac{63}{y} \cdot \frac{x}{42} = \frac{63x}{42y}$.
Сократим дробь $\frac{63}{42}$. Наибольший общий делитель для 63 и 42 равен 21.
$\frac{63x}{42y} = \frac{(3 \cdot 21)x}{(2 \cdot 21)y} = \frac{3x}{2y}$.
2. Выполним вычитание.
$\frac{3x}{y} - \frac{3x}{2y}$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю $2y$:
$\frac{3x \cdot 2}{y \cdot 2} - \frac{3x}{2y} = \frac{6x}{2y} - \frac{3x}{2y} = \frac{6x - 3x}{2y} = \frac{3x}{2y}$.
Ответ: $\frac{3x}{2y}$.