Номер 33.57, страница 165 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.57*. Докажите тождество

$\frac{12nm}{3nm + 6} + \frac{6nm + 12}{2nm + 4} + \frac{4m^2n^2}{n^2m^2 + 4nm + 4} = \left(\frac{2mn}{mn + 2}\right)^2 + 2$ для всех $n, m \in N$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности и покажем, что они равны для всех натуральных $n$ и $m$.

Преобразование левой части (ЛЧ)

Левая часть тождества: $ ЛЧ = \frac{12nm}{3nm+6} + \frac{6nm+12}{2nm+4} + \frac{4m^2n^2}{n^2m^2+4nm+4} $

Упростим каждое слагаемое:

1. В первой дроби вынесем общий множитель 3 в знаменателе:

$ \frac{12nm}{3nm+6} = \frac{12nm}{3(nm+2)} = \frac{4nm}{nm+2} $

2. Во второй дроби вынесем общие множители 6 в числителе и 2 в знаменателе:

$ \frac{6nm+12}{2nm+4} = \frac{6(nm+2)}{2(nm+2)} $

Поскольку по условию $ n, m \in \mathbb{N} $, то $ nm \ge 1 $, и, следовательно, выражение $ nm+2 $ не равно нулю. Поэтому мы можем сократить дробь на $ (nm+2) $:

$ \frac{6(nm+2)}{2(nm+2)} = \frac{6}{2} = 3 $

3. В третьей дроби знаменатель представляет собой полный квадрат суммы:

$ n^2m^2+4nm+4 = (nm)^2 + 2 \cdot (nm) \cdot 2 + 2^2 = (nm+2)^2 $

Тогда третья дробь преобразуется к виду:

$ \frac{4m^2n^2}{(nm+2)^2} = \frac{(2mn)^2}{(nm+2)^2} = \left(\frac{2mn}{nm+2}\right)^2 $

Сложив полученные выражения, получим преобразованную левую часть:

$ ЛЧ = \frac{4nm}{nm+2} + 3 + \left(\frac{2mn}{nm+2}\right)^2 $

Преобразование правой части (ПЧ)

Правая часть тождества: $ ПЧ = \left(\frac{2mn}{mn+2}+1\right)^2+2 $

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, где $ a = \frac{2mn}{mn+2} $ и $ b=1 $:

$ \left(\frac{2mn}{mn+2}+1\right)^2+2 = \left( \left(\frac{2mn}{mn+2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{2mn}{mn+2} \cdot 1 + 1^2 \right) + 2 $

Упростим выражение:

$ ПЧ = \left(\frac{2mn}{mn+2}\right)^2 + \frac{4mn}{mn+2} + 1 + 2 = \left(\frac{2mn}{mn+2}\right)^2 + \frac{4mn}{mn+2} + 3 $

Сравнение результатов

Мы получили следующие выражения для левой и правой частей:

$ ЛЧ = \frac{4nm}{nm+2} + 3 + \left(\frac{2mn}{nm+2}\right)^2 $

$ ПЧ = \frac{4mn}{mn+2} + 3 + \left(\frac{2mn}{mn+2}\right)^2 $

Поскольку умножение коммутативно ($nm = mn$), то полученные выражения для левой и правой частей идентичны. Следовательно, ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Тождество доказано.