Номер 33.51, страница 164 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.51*. Представьте выражение $3x^2y^5 \cdot \frac{12x^{4k}y^{3k}}{5z^5} : \frac{(x^4y^3)^k}{z^6}$ в виде дроби.

Чтобы представить данное выражение в виде дроби, необходимо последовательно выполнить все операции: умножение и деление.

Исходное выражение:

$3x^2y^5 \cdot \frac{12x^{4k}y^{3k}}{5z^5} : \frac{(x^4y^3)^k}{z^6}$

1. Сначала выполним операцию деления. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Таким образом, операция $: \frac{(x^4y^3)^k}{z^6}$ заменяется на $\cdot \frac{z^6}{(x^4y^3)^k}$.

Выражение принимает вид:

$3x^2y^5 \cdot \frac{12x^{4k}y^{3k}}{5z^5} \cdot \frac{z^6}{(x^4y^3)^k}$

2. Упростим выражение в знаменателе последней дроби, используя свойство возведения в степень произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^4y^3)^k = (x^4)^k (y^3)^k = x^{4 \cdot k}y^{3 \cdot k} = x^{4k}y^{3k}$

3. Подставим упрощенное выражение обратно. Также представим первый множитель $3x^2y^5$ в виде дроби $\frac{3x^2y^5}{1}$ для удобства умножения:

$\frac{3x^2y^5}{1} \cdot \frac{12x^{4k}y^{3k}}{5z^5} \cdot \frac{z^6}{x^{4k}y^{3k}}$

4. Теперь перемножим все дроби. Для этого перемножим их числители и знаменатели соответственно:

$\frac{3x^2y^5 \cdot 12x^{4k}y^{3k} \cdot z^6}{1 \cdot 5z^5 \cdot x^{4k}y^{3k}}$

5. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями в числителе:

$\frac{(3 \cdot 12) \cdot (x^2 \cdot x^{4k}) \cdot (y^5 \cdot y^{3k}) \cdot z^6}{5 \cdot z^5 \cdot x^{4k} \cdot y^{3k}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$\frac{36 \cdot x^{2+4k} \cdot y^{5+3k} \cdot z^6}{5 \cdot x^{4k} \cdot y^{3k} \cdot z^5}$

6. Сократим дробь. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$). Сократим общие множители для каждой переменной:

Для $x$: $\frac{x^{2+4k}}{x^{4k}} = x^{2+4k-4k} = x^2$

Для $y$: $\frac{y^{5+3k}}{y^{3k}} = y^{5+3k-3k} = y^5$

Для $z$: $\frac{z^6}{z^5} = z^{6-5} = z^1 = z$

7. Объединим полученные результаты с числовым коэффициентом $\frac{36}{5}$:

$\frac{36}{5}x^2y^5z$

Запишем итоговое выражение в виде одной дроби:

$\frac{36x^2y^5z}{5}$

Ответ: $\frac{36x^2y^5z}{5}$